SUJET ORAL TSTI2D 13

oui
oui
STI2D
Année 2014
QCM,Nombres complexes,Fonction ln,Fonction exp
 

Oral 13 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\) .

  1. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(F(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\).
  2. Calculer \(I=\displaystyle\int_1^4 f(x)\; dx\) .



Exercice

  1. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation \(y = 0\) ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty\),
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) ,
    3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty\)
    1. Le nombre complexe \(z = 1 + i\sqrt{3}\) a pour module et argument respectivement :
    2. 2 et \(\frac{\pi}{3}\) ,
    3. 1 et \(\frac{\pi}{6}\) ,
    4. 4 et \(-\frac{\pi}{3}\)
    1. Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). Le point d'affixe \(1 + i\) appartient:
    2. au cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\). ,
    3. à la droite d'équation \(y =-x\). ,
    4. au cercle de centre O et de rayon 1.

Correction Oral 13 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\) .

  1. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(F(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\).
  2. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(F(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\).
    Il suffit de dériver !
    \(F=u+v\) où \(u(x)=\ln x\) et \(v(x)= \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\)
    On a donc \(u'(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(v'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2\ln x \times \dfrac{1}{x}\)


    On a utilisé la formule \((u^2)'=2uu'\).

    Ainsi \(F'(x)=u'(x)+v'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1+\ln x}{x}=f(x)\)
    Comme \(F'(x)=f(x)\), on a bien montré que \(F\) est une primitive de \(f\).
  3. Calculer \(I=\displaystyle\int_1^4 f(x)\; dx\) .
  4. \(I=\displaystyle\int_1^4 f(x)\; dx=\left [F(x)\right ]_1^4=F(4)-F(1)\) On calcule successivement :
    • \(F(4)=\dfrac{1+\ln 4}{4}\)
    • \(F(1)=\dfrac{1+\ln 1}{1}=1\) car \(\ln 1=0\)
    Ainsi \(I=\dfrac{1+\ln 4}{4}-1=\dfrac{2\ln 2-3}{4}\)

    \(I=\dfrac{2\ln 2-3}{4}\)



Exercice

  1. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation \(y = 0\) ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty\),
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) ,
    3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty\)
    \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation \(y = 0\) .
    C'est une limite du cours !
    1. Le nombre complexe \(z = 1 + i\sqrt{3}\) a pour module et argument respectivement :
    2. 2 et \(\frac{\pi}{3}\) ,
    3. 1 et \(\frac{\pi}{6}\) ,
    4. 4 et \(-\frac{\pi}{3}\)
    Le nombre complexe \(z = 1 + i\sqrt{3}\) a pour module et argument respectivement :
    On calcule son module \(\left |z\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+\sqrt 3^2}=\sqrt{4}=2\)
    On détermine un argument en calculant :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{2} \\ \sin\theta& = & \dfrac{b}{r}=\dfrac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\)
    Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
    Le nombre complexe \(1+i\sqrt 3\) a pour module et argument respectivement : 2 et \(\frac{\pi}{3}\) .
    1. Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). Le point d'affixe \(1 + i\) appartient:
    2. au cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\). ,
    3. à la droite d'équation \(y =-x\). ,
    4. au cercle de centre O et de rayon 1.
    On note \(A\) le point d'affixe \(z_A=1+i\)
    \(OA=\left |z_A\right |=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)
    De \(OA=\sqrt 2\) on déduit que \(A\) appartient au cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\)
 

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