Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018

Exercice 1 3 points


Equations différentielles


Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, \(\ldots\)), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée \(t\) de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction \(f\), définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\), qui est une solution sur \([0~;~+\infty[\) de l'équation différentielle \((E)\) : \[y' + 0,15y = 4,5.\]

  1. Résoudre l'équation différentielle \((E)\) sur \([0~;~+\infty[\).
  2. À l'instant \(t = 0\), la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que \(f\) est définie sur \([0~;~+\infty[\) par \[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]
  3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à \(12\) MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?

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