Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 19 juin 2018

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Suites


Suites

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.

Partie A

  1. Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d’une semaine?
  2. Le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout d’une semaine est : \renewcommand{\arraystretch}{1.25} \[\begin{array}{rl} V&=280-\frac{2}{100}\times 280 \\ & =0,98\times 280\\ &=274,4 \end{array}\]Au bout d'une semaine il restera 274,4 litres d'au dans l'aquarium.
  3. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés? Justifier.
  4. C'est faux ! Au bout de deux semaines, il restera \(0,98^2\times 280\). Il se sera échappé \[1-0,98^2=0,0396.\]Au bout de deux semaines, exactement 3,96% du volume d’eau initial se seront évaporés.
  5. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.
  6. Notons \(V_n\) le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout de \(n\) semaines.
    On cherche le plus petit entier \(n\) vérifiant : \(V_n < 240\).
    Comme on passe de \(V_n\) à \(V_{n+1}\) en multipliant par 0,98; la suite \(\left ( V_n\right)\) est géométrique de raison 0,98.
    Ainsi \(V_n=q^n\times V_0=280\times 0,98^n\). \[\begin{array}{rll} V_n <240& \iff 280\times 0,98^n < 240&\\ & \iff 0,98^n <\frac{240}{280}&\\ &\iff 0,98^n < \frac{6}{7}&\\ &\iff \ln\left (0,98^n\right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ &\iff n\ln\left (0,98 \right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}&\text{ car } 0,98 <1 \text{ donc } \ln\left (0,98 \right ) <0\\ \end{array}\]Grâce à une calculatrice, on obtient \(\dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}\approx 7,63\).
    Le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant au bout de 8 semaines.

    Partie B

    On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%.
    On note \(u_0\) le volume initial d’eau en litres dans l'aquarium. Ainsi \(u_0 = 280\).
    Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, on note \(u_n\) le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, \(n\) semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.

    1. Vérifier que \(u_2 = 278,812\).
      • \(u_1= 0,98\times u_0+5=0,98\times 280+5 = 279,4\)
      • \(u_2= 0,98\times u_1+5=0,98\times 279,4+5 =278,812\)
    2. Justifier que pour tout entier naturel \(n, u_{n+1} = 0,98 u_n + 5\).
    3. Comme \(u_n\) est le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, \(n\) semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau, on a après évaporation de 2 % sur une semaine, il y aura \((1-0,02)u_n=0,98u_n\).
      Puis on rajoute 5 litres d'eau, il y aura donc en litres, \(n+1\) semaines après son installation: \(0,98u_n+5\)
      D'où le résultat: \(u_{n+1} = 0,98 u_n + 5.\)
    4. Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) n’est pas géométrique.
    5. Si \(\left(u_n\right)\) est géométrique de raison \(q\) alors \(q=\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1}\)
      Mais \[\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1} \iff u_1^2=u_0\times u_2\]Or \(u_1^2=78\;064,36\) et \(u_0\times u_2=78\;067,36\).
      On a donc \(\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\), donc la suite \(\left(u_n\right)\) n’est pas géométrique.
    6. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel \(k\) désigne un nombre entier naturel et \(U\) un nombre réel.
      \[\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \ldots\\ \hspace{0.5cm} U\gets \ldots \\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}\]
      1. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable U contienne \(u_6\).
      2. \[\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \color{red}{6}\\ \hspace{0.5cm} U\gets \color{red}{0,98\times U+5 }\\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}\]
      3. Quel est le volume d’eau dans l’aquarium, en litres à 10\(^{-2}\) près, 6 semaines après son installation immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
      4. Plusieurs méthodes sont possibles :
        On saisit l'algorithme ci-dessus sur une calculatrice
        On obtient \(v_6\approx 276,58\)
        On peut également utiliser le mode suite de la calculatrice :
        suite1 suite2
        suite3 suite4
    7. On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n -250\). On admet que la suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique de raison 0,98.
      1. Calculer \(v_0\).
      2. \(v_0=u_0-250=280-250=30\)
      3. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
      4. Comme \(\left(u_n\right)\) est géométrique de raison 0,98, on a pour tout entier \(n\): \[v_n= q^n \times v_0= 30 \times 0,98^n\]
      5. En déduire que, pour tout entier naturel \(n, u_n = 30 \times 0,98^n + 250\).
      6. Ayant \(v_n = u_n -250\), on déduit \[u_n = v_n +250=30 \times 0,98^n + 250\]
      7. Justifier que la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.
      8. Pour tout entier \(n\), on a : \(0,98^n>0\), donc \(30\times 0,98^n >0\), puis \(30\times 0,98^n +250>250\).
        Donc pour tout entier \(n\), on a \(u_n>250\), l'aquaruim contient donc toujours plus de 250 litres. Donc la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
159
Articles
1391
Compteur d'affichages des articles
6881320