Baccalauréat STI 2D/STL Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

Exercice 1 6 points


Suites

Au 1er janvier 2014, un particulier installe 20 m\(^2\) de panneaux photovoltaïques à son domicile. Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation suivante :

  • En France 1 m\(^2\) de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ 95 kWh/an.
  • La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime que la perte de rendement est de 3% par an.
  • La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie produite depuis le début de l'installation dépasse 20000


Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on note \(u_n\) la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année \(2014 + n\).

Partie A

 

    1. Déterminer la quantité d'énergie produite en 2014 et la quantité d'énergie produite en 2015.
    2. Vérifier que \(u_{n+1} = 0,97 \times u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
  1. Quelle estimation, à la dizaine de kWh près, peut-on donner de la quantité d'énergie produite en 2044 ?
  2. Que devient la quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand nombre d'années ?
  3. En quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement ?

 

Partie B

On considère l'algorithme ci-dessous :
\[\begin{array}{cc} 1&\text{VARIABLES}\\ 2& u \text{ EST_DU_TYPE NOMBRE}\\ 3& S \text{ EST_DU_TYPE NOMBRE}\\ 4& n \text{ EST_DU_TYPE NOMBRE}\\ 5& \text{ DÉBUT ALGORITHME}\\ 6& n \text{ PREND_LA_VALEUR } 0\\ 7& u \text{ PREND LA VALEUR } 1900 \\ 8& S \text{ PREND LA VALEUR } 1900 \\ 9& \text{ TANT_QUE } S< 20000 \text{ FAIRE}\\ 10& \text{DÉBUT_TANT_QUE }\\ 11& n \text{ PREND LA VALEUR } n+1 \\ 12& u \text{ PREND_LA_VALEUR } u \times 0,97 \\ 13& S \text{ PREND_LA_VALEUR } S+u \\ 14& \text{ FIN_TANT_QUE}\\ 15& \text{ AFFICHER  } n \\ 16& \text{FIN_ALGORITHME }\\ \end{array} \]

 

    1. À quoi sert la ligne 8 ?
    2. La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12. Que signifie ce résultat ?
  1. On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25 ans. Calculer \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}\) et interpréter le résultat.

 


Correction de l'exercice 1 (6 points)

 


Suites

Au 1er janvier 2014, un particulier installe 20 m\(^2\) de panneaux photovoltaïques à son domicile. Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation suivante :

  • En France 1 m\(^2\) de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ 95 kWh/an.
  • La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime que la perte de rendement est de 3% par an.
  • La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie produite depuis le début de l'installation dépasse 20000


Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on note \(u_n\) la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année \(2014 + n\).

Partie A

 

    1. Déterminer la quantité d'énergie produite en 2014 et la quantité d'énergie produite en 2015.
    2. Si \( 1 \;m^2 \) produit \( 95\; kWh\) alors \( 20 \;m^2 \) produiront \( 1900\; kWh\) \((20\times 95= 1900 )\).
      La quantité d'énergie produite en 2015 a baissé de 3 % par rapport à l'année précédente par conséquent elle a été multipliée par 0.97 .
      \(1900\times 0.97 = 1843 \).
      La production en 2015 s'élève à \( 1843\; kWh\).
    3. Vérifier que \(u_{n+1} = 0,97 \times u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
    4. À une diminution de 3 % correspond un coefficient multiplicateur de (1- 0.03 ) c'est-à-dire de 0.97 . Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 0.97 .
      Le terme précédent \( u_{n+1}\) est \(u_n\) donc \(u_{n+1} = 0,97 \times u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
      La suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique de premier terme 1900 et de raison 0.97 .
      Le terme général d'une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\) est \(u_n=u_0\times (q)^{n}\).
      \(u_n= 1900 \times 0.97 ^n\).
  1. Quelle estimation, à la dizaine de kWh près, peut-on donner de la quantité d'énergie produite en 2044 ?
  2. En 2044, \(n=30\). En remplaçant \(n\) par \(30\) dans l'expression de \(u_n\), nous avons \(u_{30}= 1900 \times 0.97 ^{30}\approx 761.913 \).
    Une estimation à la dizaine de kWh près, que l'on peut donner de la quantité d'énergie produite en 2044 est \(760\; kWh\).
  3. Que devient la quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand nombre d'années ?
  4. La quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand nombre d'années tend vers \(0\).
  5. En quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement ?
  6. Pour déterminer en quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement, résolvons \[\begin{array}{rl} u_n\leq \dfrac{u_0}{2}& \Longleftrightarrow 1900 \times (0.97 )^n\leqslant \dfrac{ 1900 }{2}\\ &\Longleftrightarrow ( 0.97 )^n\leqslant \dfrac{ 1 }{2}\\ & \Longleftrightarrow n\ln 0.97 \leqslant -\ln 2\\ & \Longleftrightarrow n\geqslant \dfrac{-\ln 2}{\ln 0.97 } \end{array}\]. Or \( \dfrac{-\ln 2}{\ln 0.97 }\approx 22.76 \).
    Nous pouvons estimer que l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement en 2014+23 c'est-à-dire en 2037.

 

Partie B

On considère l'algorithme ci-dessous :
\[\begin{array}{cc} 1&\text{VARIABLES}\\ 2& u \text{ EST_DU_TYPE NOMBRE}\\ 3& S \text{ EST_DU_TYPE NOMBRE}\\ 4& n \text{ EST_DU_TYPE NOMBRE}\\ 5& \text{ DÉBUT ALGORITHME}\\ 6& n \text{ PREND_LA_VALEUR } 0\\ 7& u \text{ PREND LA VALEUR } 1900 \\ 8& S \text{ PREND LA VALEUR } 1900 \\ 9& \text{ TANT_QUE } S< 20000 \text{ FAIRE}\\ 10& \text{DÉBUT_TANT_QUE }\\ 11& n \text{ PREND LA VALEUR } n+1 \\ 12& u \text{ PREND_LA_VALEUR } u \times 0,97 \\ 13& S \text{ PREND_LA_VALEUR } S+u \\ 14& \text{ FIN_TANT_QUE}\\ 15& \text{ AFFICHER  } n \\ 16& \text{FIN_ALGORITHME }\\ \end{array} \]

 

    1. À quoi sert la ligne 8 ?
    2. La ligne 8 sert à initialiser la quantité totale d'énergie produite.
    3. La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12. Que signifie ce résultat ?
    4. La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12. Cela signifie qu'au bout de 12 ans, la quantité totale d'énergie produite est supérieure à vingt mille kilowattheures, par conséquent la rentabilité financière est assurée.
  1. On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25 ans. Calculer \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}\) et interpréter le résultat.
  2. Calculons \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}\). \(\left(u_n\right)\) étant une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}=u_0\dfrac{1-q^{25}}{1-q}\).
    Par conséquent \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}=1900\times \dfrac{1- 0.97 ^{25}}{1- 0.97 }\approx 33 758.3\) kWh.
    Ce résultat correspond à la quantité d'énergie produite pendant les vingt-cinq ans de l'installation. La rentabilité financière est donc assurée.

Exercice 2 5 points


Probabilités

Un grand constructeur automobile propose une nouvelle gamme de véhicules électriques équipés de batteries au nickel-cadmium.

Partie A


On s'intéresse à l'autonomie en kilomètres de cette nouvelle gamme de véhicules. Soit \(X\) la variable aléatoire qui à un véhicule tiré au hasard associe son autonomie en km. On suppose que \(X\) suit la loi normale de moyenne \(\mu = 104\) et d'écart type \(\sigma = 6\). On arrondira les résultats à \(10^{-2}\) près. On considère qu'un véhicule est conforme lorsque son autonomie est comprise entre 92 et 116. Déterminer la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme.

Partie B


Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir leur certificat de conformité. Soit \(Y\) la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75 véhicules choisis au hasard dans la production associe le nombre de véhicules non-conformes dans cet échantillon. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non-conforme est \(0,05\).

  1. Expliquer pourquoi \(Y\) suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
  2. Calculer la probabilité de l'évènement " dans l'échantillon prélevé au hasard, tous les véhicules sont conformes ". On arrondira le résultat à \(10^{-2}\) près.

 

Partie C


Le constructeur automobile veut juger de l'impact d'une campagne publicitaire menée dans les médias pour la vente de cette nouvelle gamme de véhicules. Dans un échantillon, considéré comme prélevé au hasard et avec remise, de 1000 véhicules produits, on constate la vente de \(148\) véhicules avant la campagne publicitaire. Sur une même période, après la campagne publicitaire, pour un échantillon de même taille et prélevé dans les mêmes conditions, on constate la vente de \(177\) véhicules. Que peut-on en conclure sur la campagne publicitaire ? Vous pourrez déterminer les intervalles de confiance avec un niveau de confiance de 95% correspondant à chacune de ces situations.

 


Correction de l'exercice 2 (5 points)


Probabilités

Un grand constructeur automobile propose une nouvelle gamme de véhicules électriques équipés de batteries au nickel-cadmium.

Partie A

 

On s'intéresse à l'autonomie en kilomètres de cette nouvelle gamme de véhicules. Soit \(X\) la variable aléatoire qui à un véhicule tiré au hasard associe son autonomie en km.
On suppose que \(X\) suit la loi normale de moyenne \(\mu = 104\) et d'écart type \(\sigma = 6\). On arrondira les résultats à \(10^{-2}\) près.
On considère qu'un véhicule est conforme lorsque son autonomie est comprise entre 92 et 116.
Déterminer la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme.

Déterminons la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme. À l'aide de la calculatrice, nous obtenons \(P(92 \leqslant X \leqslant 116)\approx 0.9545 \). Nous pouvons remarquer que \([92~;~116]\) correspond à l'intervalle \([\mu-2\sigma~;~\mu+2\sigma]\).

2ND DISTR 2NORMALFRép( 92 , 116,104,4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

\[NormalFR\text{é}p(92,116,104,4) \approx 0.9545\]

\[P(92 \leq X \leq 116)\approx 0.9545 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}\]
 

 

Partie B


Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir leur certificat de conformité. Soit \(Y\) la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75 véhicules choisis au hasard dans la production associe le nombre de véhicules non-conformes dans cet échantillon. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non-conforme est \(0,05\).

  1. Expliquer pourquoi \(Y\) suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
  2. On répète \(75\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « On choisit un véhicule au hasard dans cette production » qui comporte 2 issues :

    • « le véhicule est non conforme » considéré comme succès, de probabilité \(p=0.05\)
    • « le véhicule est conforme » considéré comme échec, de probabilité \(q=1-p=0.95\)

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(Y\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(75\)  et \(0.05\) notée \(\mathscr{B}(75;0.05)\) .

    Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 75\), on a \[P(Y=k)=\binom{75}{k}\times \left(0.05\right)^k\times\left( 0.95\right)^{75-k}\]

  3. Calculer la probabilité de l'évènement  " dans l'échantillon prélevé au hasard, tous les véhicules sont conformes ". On arrondira le résultat à \(10^{-2}\) près.
  4. Nous avons donc \(k=0\). \(p(Y = 0) = 0.95 ^{75} \approx 0.02 .\)

    2ND DISTR 0binomFdP( 75 , 0.05,0)EXE
    Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(75,0.05,0) \approx 0.02\)

    \[P( Y = 0)\approx 0.02 \text{ à } 10^{-2} \text{ près.}\]

 

Partie C

 

Le constructeur automobile veut juger de l'impact d'une campagne publicitaire menée dans les médias pour la vente de cette nouvelle gamme de véhicules.
Dans un échantillon, considéré comme prélevé au hasard et avec remise, de 1000 véhicules produits, on constate la vente de \(148\) véhicules avant la campagne publicitaire.
Sur une même période, après la campagne publicitaire, pour un échantillon de même taille et prélevé dans les mêmes conditions, on constate la vente de \(177\) véhicules.
Que peut-on en conclure sur la campagne publicitaire ?
Vous pourrez déterminer les intervalles de confiance avec un niveau de confiance de 95% correspondant à chacune de ces situations.

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[I = \left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} \right]\]
Avant la campagne publicitaire:

La fréquence est égale à  \(0,148\). La taille \(n\) de l'échantillon considéré est égale à  \(1000.\)
Comme  \( n =1000\) ,   \(n \times f_1  \)=148  et \(n\times (1-f_1)=852,\) les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : \[n \geq 30\;;\; n \times f_1 \geq 5 \text{ et } n\times (1-f_1) \geq 5\]

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[IC_1 = \left[f_1 - 1,96\sqrt{\dfrac{f_1(1 - f_1)}{n}}~;~f_1 + 1,96\sqrt{\dfrac{f_1(1 - f_1)}{n}} \right]\]
La fréquence est \(f_1=0,148\).
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[IC_1 = \left[0,148 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,148 (1 - 0,148 )}{1000}}~;~0,148 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,148 (1 - 0,148 )}{1000}} \right]\approx[0,126~;~0,170]\]


Après la campagne publicitaire :

La fréquence est égale à  \(0,177\). La taille \(n\) de l'échantillon considéré est égale à  \(1000.\)
Comme  \( n =1000\) ,   \(n \times f_2  \)=177  et \(n\times (1-f_2)=823,\) les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : \[n \geq 30\;;\; n \times f_2 \geq 5 \text{ et } n\times (1-f_2) \geq 5\]
L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[IC_2 = \left[f_2 - 1,96\sqrt{\dfrac{f_2(1 - f_2)}{n}}~;~f_2 + 1,96\sqrt{\dfrac{f_2(1 - f_2)}{n}} \right]\]
La fréquence est \(f_2=0,177\).
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[IC_2 = \left[0,177 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,177 (1 - 0,177 )}{1000}}~;~0,177 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,177 (1 - 0,177 )}{1000}} \right]\approx[0,153~;~0,201]\]

 Les intervalles n'étant pas disjoints, nous pouvons dire que la campagne n'a pas été efficace.


Exercice 3 4 points


QCM


Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points. Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction \(f\) définie sur \(]7~;~+ \infty[\) par \[f(x) = 3x^2 + x + \dfrac{1}{(x - 7)^2}\]

  1. Une primitive \(F\) de \(f\) est donnée par :
    1. \(F(x) = 6x + 1 + \dfrac{2}{(x - 7)^3}\)
    2. \(F(x) = x^3 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}\)
    3. \(F(x) = 9x^3 + 2x^2 + \dfrac{1}{(x - 7)}\)
    4. \(F(x) = x^3+ \dfrac{x^2}{2} + \ln (x-7)\)
  2. Laquelle des limites suivantes est correcte ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty\)
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\)
    3. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty\)
    4. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = 154\)
  3. Soit \(z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) alors l'écriture exponentielle du conjugué de \(z\) est :
    1. \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\)
    2. \(\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\)
    3. \(\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
    4. \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
  4. Un argument de \(z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}\) est :
    1. \(\dfrac{\pi}{14}\)
    2. \(\dfrac{13\pi}{14}\)
    3. \(- \dfrac{2\pi}{9}\)
    4. \(\sqrt{7}\)

 


Correction de l'exercice 3 (4 points)


Fonctions

QCM


Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points. Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction \(f\) définie sur \(]7~;~+ \infty[\) par \[f(x) = 3x^2 + x + \dfrac{1}{(x - 7)^2}\]

  1. Une primitive \(F\) de \(f\) est donnée par :
    1. \(F(x) = 6x + 1 + \dfrac{2}{(x - 7)^3}\)
    2. \(F(x) = x^3 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}\)
    3. \(F(x) = 9x^3 + 2x^2 + \dfrac{1}{(x - 7)}\)
    4. \(F(x) = x^3+ \dfrac{x^2}{2} + \ln (x-7)\)
  2. On peut le vérifier en dérivant chacune des fonctions proposées... ou en primitivant \(f\)
    \(F(x) = x^3 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}\)
  3. Laquelle des limites suivantes est correcte ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty\)
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\)
    3. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty\)
    4. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = 154\)
  4. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty\)
  5. Soit \(z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) alors l'écriture exponentielle du conjugué de \(z\) est :
    1. \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\)
    2. \(\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\)
    3. \(\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
    4. \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
  6. Comme \(z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), on déduit \(\overline{z} = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\);

    Forme trigonométrique de \(\overline{z} = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
    Module : \(|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{  \left( \dfrac{1}{2} \right)^2+\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{1}=1\)
    Argument: \[\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= -\dfrac{ 1}{ 2} \\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.\]Ainsi \(\theta=-\dfrac{2\pi}{3}\) convient; on a donc: \[\overline{z}=[1;\dfrac{-2\pi}{3}] \text{ ou } \overline{z}=1\left [\cos\left (\dfrac{-2\pi}{3}\right )+i\sin\left (\dfrac{-2\pi}{3}\right )\right ]\]

    La forme exponentielle de \(\overline{z}\) est \(\overline{z}= e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)
    \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
  7. Un argument de \(z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}\) est :
    1. \(\dfrac{\pi}{14}\)
    2. \(\dfrac{13\pi}{14}\)
    3. \(- \dfrac{2\pi}{9}\)
    4. \(\sqrt{7}\)
  8. Un argument de \(z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}\) est : \(\dfrac{\pi}{14}\)

 


Exercice 4 5 points


Equations différentielles


Un réservoir contient 1000 litres d'eau potable. À la suite d'un incident de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de 10 litres par minute. On s'intéresse à la salinité de cette eau, c'est-à-dire au taux de sel (en grammes par litre), qui doit rester inférieure à 3,9 g.L\(^{-1}\). On modélise la situation en notant \(s\) la salinité exprimée en grammes par litre et \(t\) le temps écoulé en minutes depuis le début de l'incident. On suppose que l'évolution de \(s\) est représentée par l'équation différentielle \[(\text{E}) : \quad y' + 0,01y = 0,39.\]

  1. Résoudre l'équation (E). On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction \(s\) est définie par \[s(t) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01t}.\]
    1. Quelle est la salinité de l'eau dans le réservoir avant l'incident c'est-à-dire à \(t = 0\) ?
    2. Justifier que la fonction \(s\) est strictement croissante.
    3. Déterminer la salinité de l'eau du réservoir 60~minutes après le début de l'incident. Arrondir à \(10^{-2}\) près.
    4. Que devient la salinité de l'eau du réservoir si on n'intervient jamais ?
  2. La salinité doit rester inférieure à 3,9 g.L\(^{-1}\). De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident ? Justifier la réponse.

 


Exercice 4 5 points


Equations différentielles


Un réservoir contient 1000 litres d'eau potable. À la suite d'un incident de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de 10 litres par minute. On s'intéresse à la salinité de cette eau, c'est-à-dire au taux de sel (en grammes par litre), qui doit rester inférieure à 3,9 g.L\(^{-1}\). On modélise la situation en notant \(s\) la salinité exprimée en grammes par litre et \(t\) le temps écoulé en minutes depuis le début de l'incident. On suppose que l'évolution de \(s\) est représentée par l'équation différentielle \[(\text{E}) : \quad y' + 0,01y = 0,39.\]

  1. Résoudre l'équation (E). On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction \(s\) est définie par \[s(t) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01t}.\]
  2. Résolvons l'équation (E).
    Les solutions de l'équation différentielle \(y' =ay +b\) sur \(\mathbb R\) sont les fonctions \(y\) définies par \(y(x)=C e^{ax}-\dfrac{b}{a}\) où \(C\) est une constante quelconque.
    Ici (E) se mat sous forme résolue \[y' =- 0,01y + 0,39\]\(a=-0,01; b= 0,39 \); on déduit donc \(-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{ 0,39 }{-0,01 } =39\)
    par conséquent \(y(t)=C e^{- 0,01 t} -\dfrac{ 0,39 }{-0,01 }\) d'où \(y(t)=C e^{- 0,01 t}+39\) où \(C\) est une constante quelconque.
    On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction \(s\) est définie par \[s(t) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01t}.\]
    1. Quelle est la salinité de l'eau dans le réservoir avant l'incident c'est-à-dire à \(t = 0\) ?
    2. Calculons \(s(0)\). \(s(0) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01\times0}= 0.12 \)
    3. Justifier que la fonction \(s\) est strictement croissante.
    4. On calcule sa dérivée : \[s'(t) = - 38.88 \times (- 0.01 ) \text{e}^{- 0.01 t} = 0,3888\text{e}^{- 0.01 t} \]La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\) donc la fonction dérivée est strictement positive sur \(\mathbb R\).
      Donc la fonction \(s\) est strictement croissante c.
    5. Déterminer la salinité de l'eau du réservoir 60 minutes après le début de l'incident. Arrondir à \(10^{-2}\) près.
    6. \(s(60) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01\times 60 }\approx 17,66 \)
      La salinité de l'eau du réservoir 60 minutes après le début de l'incident est d'environ \( 17.66 g.L^{-1} \).
    7. Que devient la salinité de l'eau du réservoir si on n'intervient jamais ?
    8. La salinité de l'eau du réservoir si l'on n'intervient jamais tend vers 39 puisque \(\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \text{e}^{- 0.01 t}=0\)
  3. La salinité doit rester inférieure à 3,9 g.L\(^{-1}\). De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident ? Justifier la réponse.
  4. Pour ce faire, résolvons \( s(t) < 3,9 \). \[\begin{array}{rl} 39- 38,88\text{e}^{- 0.01 t}& <3,9 \\ - 38,88 \text{e}^{- 0.01 t}&<3,9 -39\\ 38,88 \text{e}^{- 0.01 t}&> 35,1 \\ \text{e}^{- 0.01 t} & >\dfrac{ 35,1 }{ 38,88 }\\ \ln\text{e}^{- 0,01 t}&>\ln\left(\dfrac{ 35,1 }{ 38,88 }\right)\\ - 0,01 t&>\ln\left(\dfrac{ 35,1 }{ 38,88 }\right)\\ t& <\dfrac{\ln\left(\dfrac{ 35,1 }{ 38,88 }\right)}{- 0,01 }\\ t& < -100 \ln\left(\dfrac{ 35,1 }{ 38,88 }\right) \end{array}\]\[-100\ln\left(\dfrac{ 35,1 }{ 38,88 }\right) \approx 10,228\]Le service de surveillance dispose pour arrêter l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident d'environ 10 heures et 13 minutes.
    Une vérification avec la calculatrice !

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