Baccalauréat STI 2D/STL Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

Correction de l'exercice 3 (4 points)


Fonctions

QCM


Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points. Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction \(f\) définie sur \(]7~;~+ \infty[\) par \[f(x) = 3x^2 + x + \dfrac{1}{(x - 7)^2}\]

  1. Une primitive \(F\) de \(f\) est donnée par :
    1. \(F(x) = 6x + 1 + \dfrac{2}{(x - 7)^3}\)
    2. \(F(x) = x^3 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}\)
    3. \(F(x) = 9x^3 + 2x^2 + \dfrac{1}{(x - 7)}\)
    4. \(F(x) = x^3+ \dfrac{x^2}{2} + \ln (x-7)\)
  2. On peut le vérifier en dérivant chacune des fonctions proposées... ou en primitivant \(f\)
    \(F(x) = x^3 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}\)
  3. Laquelle des limites suivantes est correcte ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty\)
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\)
    3. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty\)
    4. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = 154\)
  4. \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty\)
  5. Soit \(z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) alors l'écriture exponentielle du conjugué de \(z\) est :
    1. \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\)
    2. \(\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\)
    3. \(\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
    4. \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
  6. Comme \(z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), on déduit \(\overline{z} = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\);

    Forme trigonométrique de \(\overline{z} = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
    Module : \(|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{  \left( \dfrac{1}{2} \right)^2+\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{1}=1\)
    Argument: \[\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= -\dfrac{ 1}{ 2} \\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.\]Ainsi \(\theta=-\dfrac{2\pi}{3}\) convient; on a donc: \[\overline{z}=[1;\dfrac{-2\pi}{3}] \text{ ou } \overline{z}=1\left [\cos\left (\dfrac{-2\pi}{3}\right )+i\sin\left (\dfrac{-2\pi}{3}\right )\right ]\]

    La forme exponentielle de \(\overline{z}\) est \(\overline{z}= e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)
    \(\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
  7. Un argument de \(z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}\) est :
    1. \(\dfrac{\pi}{14}\)
    2. \(\dfrac{13\pi}{14}\)
    3. \(- \dfrac{2\pi}{9}\)
    4. \(\sqrt{7}\)
  8. Un argument de \(z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}\) est : \(\dfrac{\pi}{14}\)

 

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