Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014

Exercice 4 6 points


Fonction logarithme On note \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par \[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]Sa courbe représentative \(\mathcal{C}_{f}\) dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille ANNEXE .

  1. Lire sur le graphique la limite de la fonction f en O. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de f(x).

  2. Graphiquement, il semblerait que la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) admette pour asymptote l'axe des ordonnées. On en déduit, par lecture graphique, que la limite de la fonction \(f\) en 0 est \(-\infty\)
     \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~2 - \ln x=+\infty \end{array}\right\}\) par produit on obtient: \(\lim\limits_{x \to 0 ^+} (2 - \ln x) \ln x = -\infty\)
    \[\lim\limits_{x \to 0 ^+} f(x) = -\infty\]
  3. Montrer que la fonction dérivée de f sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) est définie par \(f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}\).

  4. \(f\) est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : \(f=uv\) d'où \(f'=u' v+uv' \) avec pour tout réel \(x\), dans \(D_{ f}\) :
    \(\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =\ln x \\ v(x)~ =2 - \ln x \end{array}\right.\) ainsi : \(\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\dfrac{1}{x} \\ v'(x)~ =-\dfrac{1}{x} \end{array}\right.\)
    Soit pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f\) est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : \(f=uv\) d'où \(f'=u' v+uv' \) avec pour tout réel \(x\), dans \(D_{ f}\) :
    \(\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =\ln x \\ v(x)~ =2 - \ln x \end{array}\right.\) ainsi : \(\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\dfrac{1}{x} \\ v'(x)~ =-\dfrac{1}{x} \end{array}\right.\)
    Ainsi pour tout réel \(x\), dans \(]0~;~+ \infty[\) : \[\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{1}{x}\times \left (2 - \ln x\right ) +\left (-\dfrac{1}{x}\right ) \times \ln x \\ & = \dfrac{ 2-\ln x - \ln x}{x} \\ & = \dfrac{ 2-2 \ln x }{x} \\ & = \dfrac{ 2\left ( 1 - \ln x \right ) }{x} \\ \end{array}\]
    La dérivée de la fonction \(f \) est la fonction \(f'\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par \(f'(x)= \dfrac{ 2\left ( 1 - \ln x \right ) }{x}\)
  5. Étudier le signe de \(f'(x)\) lorsque \(x\) est dans l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) puis donner les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).

  6. Sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\), \(f'(x)\) est du même signe que \(1-\ln x \) et, pour tout réel \(x\) strictement positif,
    \[\begin{array}{lll} \\ f'(x) > 0 & \iff 1-\ln x > 0 & \\ & \iff -\ln x > -1 & \text{ en ajoutant } -1\\ & \iff \ln x < 1 & \text{ en multipliant par } -1 < 0 \\ & \iff e^{ \ln x } < e^1 & \text{ en appliquant la fonction exponentielle } \\ & \iff 0 < x < e & \text{ strictement croissante sur } ]0~;~+ \infty[\\ \end{array}\]
    Les variations de la fonction \(f\) se déduisent du signe de sa dérivée :
    Antilles 2014 TSTI2D Ex4 tab var
    \(f(e)= \left (2-\ln(e )\right )\ln e=1 \)
    \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~ \ln x=+\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}~2- \ln x=-\infty \end{array}\right\}\) par produit on obtient:
    \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\)
    1. On appelle A et B les points d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B.

    2. Les abscisses des points A et B sont les réels \(x\) strictement positifs, solutions de l'équation \(f(x)=0\). Soit les réels \(x\) strictement positifs tels que : \[\begin{array}{lll} \\ f(x) = 0 & \iff (2 - \ln x) \ln x = 0 \\ & \iff -\ln x > (2 - \ln x) = 0 \text{ ou } \ln x =0\\ & \iff \ln x =2 \text{ ou } \ln x =0 \\ & \iff x =e^2 \text{ ou } x =e^0 \\ & \iff x =e^2 \text{ ou } x =1 \\ \end{array}\]
      Les coordonnées des points A et B sont : A\( (1, 0)\) et B\((e^2;0)\).
    3. Calculer le coefficient directeur de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point A. Tracer la droite \(\mathcal{T}\) sur le graphique donné en annexe.

    4. Le coefficient directeur de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point A d'abscisse 1 est \(f'(1)=2\).

  7. Montrer que la fonction \(F\) définie par \[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\]est une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).

  8. Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(F(x) =x\left ( (-\ln x)^2 + 4 \ln x - 4\right )\).
    \(F\) est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : \(f=uv\) d'où \(f'=u' v+uv' \) avec pour tout réel \(x\), dans \(]0~;~+ \infty[\) :
    \(\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =(-\ln x)^2 + 4 \ln x - 4 \end{array}\right.\) ainsi : \(\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =1 \\ v'(x)~ =-2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x+ \dfrac{4}{x} =\dfrac{4 - 2 \ln x}{x}\end{array}\right.\)
    pour tout réel \(x\), dans \(]0~;~+ \infty[\) :
    \(\begin{array}{ll} F'(x) &= 1\times \left (-(\ln x)^2 + 4 \ln x - 4\right ) +\dfrac{4 - 2 \ln x}{x} \times x \\ & = -(\ln x)^2 + 4 \ln x - 4 +4 - 2 \ln x \\ & = -(\ln x)^2 + 2 \ln x \\ & = (2 - \ln x) \ln x \\ \end{array}\)
    Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(F′(x)=f(x)\) donc la fonction \(F\) définie par \(F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\) est une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).
  9. On note \(\mathcal{D}\) le domaine du plan limité par la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives \(x = 1\) et \(x = \text{e}^2\).
    1. Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine \(\mathcal{D}\).

    2. \(\mathcal{D}\) est le domaine sous la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) colorié.

    3. Calculer l'aire du domaine \(\mathcal{D}\).

    4. \[\begin{array}{ll} \mathcal{A}&= \displaystyle\int_{1}^{ \text{e}^2}f(x)\:\text{d}x&\\ & = \left [ F(x)\right ]_{1}^{ \text{e}^2} &\\ & = \left [ - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\right ]_{1}^{ \text{e}^2} &\\ & = - \text{e}^2\left (\ln \left(\text{e}^2\right)\right )^2 + 4\text{e}^2 \ln \left (\text{e}^2\right ) - 4 \text{e}^2 -(-4)& \text{Or } \ln \left (\text{e}^2\right )=2 \ln \text{e} =2 \\ & =-4 &\\ \end{array}\]
      L'aire du domaine \(\mathcal{D}\) est égale à 4 unités d'aire.

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
154
Articles
1395
Compteur d'affichages des articles
6678623