Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014

Exercice 4 6 points


Fonction logarithme On note \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par \[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]Sa courbe représentative \(\mathcal{C}_{f}\) dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille ANNEXE .

  1. Lire sur le graphique la limite de la fonction f en O. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de f(x).
  2. Montrer que la fonction dérivée de f sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) est définie par \(f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}\).
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) lorsque \(x\) est dans l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) puis donner les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).
    1. On appelle A et B les points d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B.
    2. Calculer le coefficient directeur de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point A. Tracer la droite \(\mathcal{T}\) sur le graphique donné en annexe.
  4. Montrer que la fonction \(F\) définie par \[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\]est une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).
  5. On note \(\mathcal{D}\) le domaine du plan limité par la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives \(x = 1\) et \(x = \text{e}^2\).
    1. Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine \(\mathcal{D}\).
    2. Calculer l'aire du domaine \(\mathcal{D}\).

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