Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014

Exercice 3 5 points


Nombres complexes

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\)d'unités 5 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Soit \(z\) le nombre complexe de module 2 et d'argument \(\dfrac{\pi}{3}\),
\(\overline{z}\) est le nombre complexe conjugué de \(z\).

PARTIE A

  1. Donner les écritures algébriques de \(z\), de \(\overline{z}\) et de \(\dfrac{1}{2}\overline{z}\).

  2. \(z=2e^{i\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)= 1 + i \sqrt 3\)
    \[z= 1 + i \sqrt 3\]\[\overline{z}= 1 - i \sqrt 3\]\[\dfrac{1}{2}\overline{z}= \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}\]
  3. On considère le nombre complexe \(p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}\).
    1. Montrer que \(p = - \text{i}\sqrt{3}\).

    2. \[\begin{array}{ll} \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}} &= \dfrac{2+1 - i \sqrt 3}{2-1 + i \sqrt 3}\\ & = \dfrac{3 - i \sqrt 3}{1 + i \sqrt 3} \\ & = \dfrac{(3 - i \sqrt 3)( 1 - i \sqrt 3)}{(1 + i \sqrt 3)( 1 - i \sqrt 3)} \\ & = \dfrac{3 -3 i \sqrt{3} -i \sqrt{3}+3i^2}{1^2+\left (\sqrt{3}\right )^2} \\ & = \dfrac{3 -4 i \sqrt{3} -3}{4} \\ & = -i \sqrt{3} \\ \end{array}\]
      Ainsi \(p= -i \sqrt{3}\)
    3. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, \(\dfrac{1}{2}\overline{z}\) et \(p\). Placer ces trois points dans le repère.
      Justifier l'alignement de ces trois points.

      • L'affixe du vecteur \(\vec{MN}\) est \(z_{\vec{MN}}=z_N-z_M= \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}-1=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}\)
      • L'affixe du vecteur \(\vec{MP}\) est \(z_{\vec{MP}}=z_P-z_M= -i \sqrt{3}-1=-1-i \sqrt 3 \)
      • De \(z_{\vec{MP}}=2z_{\vec{MN}}\) on déduit l'égalité \(\vec{MP}=2 \vec{MN}\) on déduit que les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{MP}\) sont colinéaires donc les points M, N et P sont alignés.

PARTIE B

Soit \(u\) le nombre complexe défini par \(u = \dfrac{1}{2}z\).

  1. Écrire \(u\) sous la forme exponentielle.

    1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de \(u^3\).

    2. \(u = \dfrac{1}{2}z\) donc \(u\) est le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{3}\) d'où :\(u=e^{i\frac{\pi}{3}}\)
      On a alors \(u^3= \left (e^{i\frac{\pi}{3}}\right )^3= e^{i\frac{3\pi}{3}}=e^{i\pi}\) \[u^3= e^{i\pi}=-1\]
    3. Vérifier les relations suivantes : \(u^4 = - u\) et \(u^5 = - u^2\).

    4. \[u^4=u^3 \times u =-1 \times u=-u\]\[u^5=u^3 \times u^2 =-1 \times u^2=-u^2\]
    5. Vérifier que \(1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1\).

    6. \[u^6=\left (u^3\right )^2=(-1)^2\]On a alors : \[1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6=1 + u + u^2 -1 -u-u^2 + 1=1\]

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