Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014

Exercice 3 5 points


Nombres complexes

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\)d'unités 5 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Soit \(z\) le nombre complexe de module 2 et d'argument \(\dfrac{\pi}{3}\),
\(\overline{z}\) est le nombre complexe conjugué de \(z\).

PARTIE A

  1. Donner les écritures algébriques de \(z\), de \(\overline{z}\) et de \(\dfrac{1}{2}\overline{z}\).
  2. On considère le nombre complexe \(p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}\).
    1. Montrer que \(p = - \text{i}\sqrt{3}\).
    2. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, \(\dfrac{1}{2}\overline{z}\) et \(p\). Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.

PARTIE B

Soit \(u\) le nombre complexe défini par \(u = \dfrac{1}{2}z\).

  1. Écrire \(u\) sous la forme exponentielle.
    1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de \(u^3\).
    2. Vérifier les relations suivantes : \(u^4 = - u\) et \(u^5 = - u^2\).
    3. Vérifier que \(1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1\).

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