Baccalauréat STI2D Antilles-Guyane 18 juin 2014

 Sciences et technologies du design et des arts appliqués

Exercice 1 (7 points)


Fonctions

Un designer-graphiste a imaginé le logo ci-dessous. Il est constitué de deux demi-cercles concentriques et d'une courbe. L'objectif de cet exercice est de reproduire ce logo.

Antilles-Guyane 18 juin 2014-Ex1

Partie A : Les demi-cercles

  1. Dans le repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)\) de l'annexe 1, on a placé les points A(5 ; 2) et B\((-1 ; 2)\) puis on a tracé le demi-cercle supérieur joignant les points A et B.
    1. Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB].
    2. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d'intersection de l'axe des ordonnées avec ce demi-cercle.
    1. Sur la figure de l'annexe 1, placer le point C(4 ; 4) puis tracer le demi-cercle joignant les points C et O, correspondant au deuxième demi-cercle du logo.
    2. Tracer la droite \((T)\), tangente à ce demi-cercle au point O. Déterminer graphiquement le coefficient directeur de \((T)\).

Partie B : La courbe
On souhaite construire la base du logo avec un raccordement lisse en O. Soit \(f\) la fonction définie sur [0 ; 5] par \[f(x) = - 0,072 x^3 + 0,64 x^2 - x.\]On note \(\mathcal{C}_{f}\) la courbe représentant la fonction \(f\) dans le repère de l'annexe 1.

  1. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) passe par les points 0 et A.
  2. On note l' la fonction dérivée de la fonction \(f\).
    1. Calculer \(f'(x)\).
    2. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point d'abscisse \(0\).
    3. Calculer \(f'(5)\) et donner une interprétation graphique du résultat obtenu.
    4. Vérifier que \(f'(x) = 0,008 (5 - x)(27x - 25)\).
  3. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle [0 ; 5].
  4. Sur l'annexe 1, compléter le tableau de valeurs de la fonction \(f\) (on arrondira à \(10^{-3}\) près).
  5. Sur l'annexe 1, compléter le logo en traà§ant \(\mathcal{C}_{f}\)

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