Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014

Correction de l'exercice 4 6 points


Suites

Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.

Document 1 :

L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.

Catégorie Vitesse des vents en km.h\({-1}\) Dégâts occasionnés
F0 60 à 120 Dégâts légers : dégâts sur cheminées, arbres, fenêtres,...
F1 120 à 180 Dégâts modérés : automobiles renversées, arbres déracinés,...
F2 180 à 250 Dégâts importants : toits arrachés, hangars et dépendances démolis,...
F3 250 à 330 Dégâts considérables : murs extérieurs et toits projetés, maisons et bâtiments de métal effondrés, forêts abattues,...
F4 330 à 420 Dégâts dévastateurs : murs effondrés, objets en acier ou en béton projetés comme des missiles,...
F5 420 à 510 Dégâts incroyables : maisons rasées ou projetées sur de grandes distances, murs extérieurs et toits arrachés sur de gros bâtiments,...

Document 2 :

A partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis ia règle suivante :«  la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les5 minutes » .

On appelle «  durée de vie »  d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure a 120 km.h \(^{-1}\)

 

Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de 420 km.h \(^{-1}\).

L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10 km.h \(^{-1}\) .

    1. Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de 378 km.h \(^{-1}\). Vérifier que ce résultat correspond à la régle admise.
      A quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là?
    2. \[v=420 -10\% =0,9\times 420 = 378\]Ainsi cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de 378 km.h \(^{-1}\) et donc la tornade est de catégorie F4.
    3. Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme «  dégâts considérables » .
      • Après 5 minutes la vitesse de la tornade est \(v_1=0,9 \times v_0=0,9\times 420 = 378\)
      • Après 10 minutes la vitesse de la tornade est \(v_2=0,9 \times v_1=0,9\times 378 \approx 340\)
      • Après 15 minutes la vitesse de la tornade est \(v_3=0,9 \times v_2\approx0,9\times 340 \approx 306\)
    4. Ainsi quinze minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est environ de 306 km.h \(^{-1}\) et donc la tornade est de catégorie F3 et occasionne des «  dégâts considérables ».
  1. Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison q. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous. \[ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & \\ & n : \text{ un nombre entier naturel }\\ & v : \text{ un nombre réel } \\ &q : \text{ un nombre réel } \\ \text{ Initialisation :}&\\ &\text{ Affecter à } n \text{ la valeur 0 }\\ &\text{ Affecter à } v \text{ la valeur 420 }\\ &\text{ Affecter à } q \text{ la valeur 0,9 }\\ \text{ Traitement :}& \\ &\text{ Tant que } \ldots \\ & \ldots\ldots\ldots\\ & \ldots\ldots\ldots \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : }& \\ & \text{ Afficher } 5\times n \\\hline \end{array}\]
    1. Justifier la valeur 0,9 dans la phrase «  Affecter à q la valeur 0,9 » .
    2. D'après l'ennoncé des météorologues ont admis la règle suivante :«  la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les5 minutes »  .
      Comme diminuer une grandeur de t % équivaut à multiplier sa valeur par \(1- \dfrac{t}{100} \), ici pour diminuer la vitesse de 10 % on multiplie sa valeur par \(1- \dfrac{10}{100}=0,9 \)
    3. Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
    4. Le premier terme est la valeur initiale de \(v\) soit \(v_0=420\), sa raison est \(q=0,9\).
    5. Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.
      Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
    6. \[ \begin{array}{|l |l |} \hline \text{ Variables :} & \\ & n : \text{ un nombre entier naturel }\\ & v : \text{ un nombre réel } \\ &q : \text{ un nombre réel } \\ \text{ Initialisation :}&\\ &\text{ Affecter à } n \text{ la valeur 0 }\\ &\text{ Affecter à } v \text{ la valeur 420 }\\ &\text{ Affecter à } q \text{ la valeur 0,9 }\\ \text{ Traitement :}& \\ &\text{ Tant que } v < 120 \\ & \text{ Affecter à } v \text{ la valeur }q \times v \\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } n+1 \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : }& \\ & \text{ Afficher } 5\times n \\ \hline \end{array}\]
    7. Expliquer l'instruction Afficher 5 \(\times n \) » proposée par l'étudiant.
    8. «  la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les5 minutes » , ainsi l'instruction «  Afficher 5 \(\times n \) » proposée par l'étudiant donne le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure a 120 km.h \(^{-1}\)
      l'instruction «  Afficher 5 \(\times n \) » doone la durée de vie en minutes de la tornade.
  2. Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.
  3. Notons \(v_n\) la vitesse de la tornade après 5 \(\times n \), la suite \((v_n)\) est géométrique, donc \(v_n=q^n\times v_0=420 \times 0,9^n\)
    On résout \(v_n<120\) \[\begin{array} {l l l} v_n < 120 & \iff 420 \times 0,9^n < 120 & \\ & \iff 0,9^n < \dfrac{120}{420} &\\ & \iff 0,9^n < \dfrac{2}{7} & \\ & \iff ln\left( 0,9^n\right) < \ln\left(\dfrac{2}{7}\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left( 0,9 \right) < \ln\left(\dfrac{2}{7}\right) & \\ & \iff n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\ln\left( 0,9 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 0,9 \right)< 0 \\ \end{array}\]Or \(\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\ln\left( 0,9 \right)}\approx 11,89\) , donc \(n\geq 12\)
    La durée de vie de la tornade est de \(5\times 12 =60\) min soit une heure !

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