Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Equations différentielles

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius ( °C) et le temps t est exprimé en heures. Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. A l'instant \(t=0\), les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à -24 °C.

Partie A

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisêe en fonction du temps \(t\) par la fonction définie sur l'intervalle \([0,+\infty[\) par \(f(t) =35e^{-1,6t}-30\).

  1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
  2. On calcule \(f(0,5)=35e^{-1,6 \times 0,5}-30=35e^{-0,8}-30\approx -14,3\)
    La température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes sera d'environ -14 °C
  3. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).
  4. On calcule la dérivée et on étudie son signe : \[f'(t)=35\times (-1,6)e^{-1,6t} = -56e^{-1,6t}\]On a utilisé la formule de dérivation : \[\left (e^u\right )'=u'e^u\]Signe de la dérivée : La fonction exponentielle étant strictement positive sur \(\mathbb{R}\) on déduit que pour tout \(t\in [0;+\infty[\), on a \(f'(t)<0\)
    La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).
  5. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
  6. \(f(1,5)\approx -26,8 °C\) La température des ailerons sera conforme au cahier des charges car inférieure ou égale à -24 °C
  7. Résoudre par le calcul l’équation \(f(t)=-24\) et interpréter le résultat trouvé.
  8. \[\begin{array} {l l l} f(t)=-24& \iff 35e^{-1,6t}-30=-24 & \\ & \iff 35e^{-1,6t}=6 &\\ & \iff e^{-1,6t} =\dfrac{6}{35}&\\ & \iff -1,6t =\ln\left(\dfrac{6}{35}\right)&\text{ en appliquant la fonction } \ln\\ & \iff t = \dfrac{ \ln\left(\dfrac{6}{35}\right)}{-1,6} & \\ & \iff t \approx 1,10 h &\\ \end{array}\] La température des ailerons atteindra -24 °C et sera donc conforme au cahier des charges au bout de 1h et 6 minutes et 9 secxondes.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La,température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisêe, en fonction du temps, par une fonction \(g\) de'finie et derivable sur l'intervalle \([0,+\infty[\), qui est solution de l'équation différentielle \(y' + 1,5y = -52,5\).

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\).
  2. L'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\) se met sous la forme \(y' =1,5y -52,5\).
    Elle est du type \(y' =a y +b\) où \(a=-1,5\) et \(b=-52,5\), les solutions de cette équation sont donc les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t)=C e^{a t} -\dfrac{b}{a}\) , soit ici
    \(g(t)=C e^{-1,5 t} -35\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
    Les solutions de cette équation sont donc les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t)=C e^{-1,5 t} -35\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
    1. Justifier que \(g(0) = 5\).
    2. \(g(0) = 5\) car l'instant \(t=0\), les ailerons, sont à une température de 5 °C.
    3. Vérifier que la fonction \(g\) est définie par \( g(t)=40e^{-1,5t}-35\)
    4. \[g(0)=5\iff C e^{-1,5 \times 0} -35 =5 \]\[g(0)=5\iff C e^0 -35 =5 \]\[C=40\]La fonction \(g\) est définie par \( g(t)=40e^{-1,5t}-35\)
  3. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
  4. On résout \(g(t)=-24\) \[\begin{array} {l l l} g(t)=-24& \iff 40e^{-1,5t}-35=-24 & \\ & \iff 40 e^{-1,5t}=11 &\\ & \iff e^{-1,5t} =\dfrac{11}{40}&\\ & \iff -1,5t =\ln\left(\dfrac{11}{40}\right)&\text{ en appliquant la fonction } \ln\\ & \iff t = \dfrac{ \ln\left(\dfrac{11}{40}\right)}{-1,5} & \\ & \iff t \approx 0,86 h \approx 52 \, min &\\ \end{array}\] Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide.

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
153
Articles
1391
Compteur d'affichages des articles
6562127