Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014

Exercice 3 6 points


Equations différentielles

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius ( °C) et le temps t est exprimé en heures. Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. A l'instant \(t=0\), les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à -24 °C.

Partie A

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisêe en fonction du temps \(t\) par la fonction définie sur l'intervalle \([0,+\infty[\) par \(f(t) =35e^{-1,6t}-30\).

  1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
  2. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).
  3. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
  4. Résoudre par le calcul l’équation \(f(t)=-24\) et interpréter le résultat trouvé.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La,température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisêe, en fonction du temps, par une fonction \(g\) de'finie et derivable sur l'intervalle \([0,+\infty[\), qui est solution de l'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\).

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\).
    1. Justifier que \(g(0) = 5\).
    2. Vérifier que la fonction \(g\) est définie par \( g(t)=40e^{-1,5t}-35\)
  2. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?

 

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