Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire a choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.
On considère les deux nombres complexes \(z=2e^{i\frac{\pi}{3}}\) et \(z' =2e^{-i\frac{\pi}{3}}\)
  1. La forme algébrique de \(z\) est égale à :
    \(z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}=2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(2\frac{\pi}{3}\right)\right)=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)= -1 + i \sqrt 3\)
    1. \(z =-1 + i \sqrt 3\) VRAI
  • Le nombre complexe \(z'\) est le nombre complexe :
    1. conjugué de \(z\) car \(\overline{ re^{i\theta}} =re^{-i\theta}\) VRAI
  • Le nombre complexe \(z \times z '= 2e^{i\frac{2\pi}{3}}\times 2e^{-i\frac{2\pi}{3}} = 4 e^{i\frac{2\pi}{3}-i\frac{2\pi}{3}}=4e^0=4\):
    1. est un nombre réel VRAI
  • Un argument du nombre complexe \(z"\) tel que \(z \times z" = i \) est :
    En prenant les arguments de part et d'aure, il vient : \[arg(z \times z") =arg( i) \;(1)\]\[arg(z )+ arg(z") =\dfrac{\pi}{2} \]\[ \text{ Or } z=2e^{i\frac{2\pi}{3}} \text{ d'où on déduit } arg(z)=\dfrac{2\pi}{3} \]\[(1)\iff \dfrac{2\pi}{3} + arg(z") =\dfrac{\pi}{2} \iff arg(z") = \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{2\pi}{3} =- \dfrac{\pi}{6}\]
    1. \(-\dfrac{\pi}{6}\) VRAI
  •  

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