Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Probabilités

Une chocolaterie industrielle fabrique des tablettes de chocolat de 200 grammes. Une machine qui fabrique les tablettes est préréglée afin de respecter cette masse de 200 grammes.
Lors de la fabrication, toutes les tablettes de chocolat sont pesées et celles dont la masse est inférieure à 195 grammes sont rejetées. L'entreprise ne les commercialisera pas sous cette forme.

On désigne par X la variable aléatoire qui, à une tablette de chocolat prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes.
On admet que X suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart type 2,86.Les résultats seront arrondis à \( 10^{-4}\).

    1. Déterminer la probabilité de l'événement «  195 <Z< 205 » .
    2. 2ND   DISTR   NORMALCDF( 195  , 205,200   ,2.86)EXE 

      \(Normalcdf(195,205,200,2.86))\approx 0,9196\)

      \(P(195 <Z< 205)\approx 0,9196\) à \( 10^{-4}\) près.
    3. Déterminer la probabilité qu'une tablette de chocolat prise au hasard dans la production ne soit pas rejetée après pesée.
    4. On veut calculer \(P(Z\geq 195) =NormalFrép(195,10 ^{99} ,200,2.86)\approx 0,9598\)
      \(P (Z\geq 195)\approx 0,9598 à 10^{-4}\) près.
  1. Une étude statistique a établi que, si la machine est bien réglée, la proportion de tablettes de chocolat rejetées est de 4 %. Afin de vérifier le réglage de la machine, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 150 tablettes et observe que 10 tablettes sont rejetées.
    Cette observation remet-elle en cause le réglage de la machine ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)
  2. Remarque : l'énoncé ne sous-entend pas que la taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à  1000 tirages successifs avec remise et donc le tirage de l'échantillon puisse se faire dans les conditions d'application d'une loi binomiale... il faudrait toujours le préciser.
    Ici \( p = 0,04, n = 1 50\),donc on a bien \(n \geq 30, np =6 \geq 5, n(1- p)=144 \geq 5\) ; ainsi les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation asymptotyque sont respectées. L'intervalle \(\tilde{I_n}=\left [p-1,96\sqrt{\dfrac{pq}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right ]=\left [0,04-1,96\sqrt{\dfrac{0,04\times 0,96}{150}}; 0,04+1,96\sqrt{\dfrac{0,04\times 0,96}{150}}\right ]\approx [0,0086 ; 0,0714]\) de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 est donc environ \( [0,0086 ; 0,0714]\).
    Sur 150 tablettes, 10 sont non conformes, soit une fréquence de \(\dfrac{10}{150}\approx 0,0667\) : cette fréquence appartient  à l'intervalle de fluctuation de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. La machine est bien réglée.

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