Baccalauréat STI2D Antilles Guyane 2013

Exercice 1 4 points

Suites

1. L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera \(\left(u_{n}\right)\). \[\begin{array}{|ll|}\hline \text{Entrée} :&\text{ Saisir la valeur de l'entier naturel } n\\ \text{Traitement} :&\text{ Affecter 2 à la variable } u \\ &\text{ Pour } i\text{ variant de 1 à } n \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } 1,5u \text{ à }u \\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie} :& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}\]Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit \(n = 1\), puis \(n = 2\) et enfin \(n = 3\) ?
2. On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 1,5 u_{n}\).
   1. Quelle est la nature de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
   2. Pour tout entier naturel \(n\), donner l'expression du terme \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
3. On considère la suite \(\left(S_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]
   1. Calculer les valeurs des termes \(S_{0}\), \(S_{1}\) et \(S_{2}\).
   2. Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme \(S_{n}\) pour un \(n\) donné ? Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie.
   3. Calculer le terme \(S_{n}\) en fonction de l'entier naturel \(n\).
   4. En déduire la limite de la suite \(\left(S_{n}\right)\).