Bac S 2013 Antilles Guyane Fonction exp

oui
non
S
Année 2013
Antilles Guyanne
Fonction exp

Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats

Pour tout réel \(k\) strictement positif, on désigne par \(f_{k}\) la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) telle que :
\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]On note \(\mathcal{C}_{k}\) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \(\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)\).
Partie A : Étude du cas \(k = 1\)
On considère donc la fonction \(f_{1}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer les limites de la fonction \(f_{1}\) en \(- \infty\) et en \(+ \infty\). En déduire que la courbe \(\mathcal{C}_{1}\) admet une asymptote que l'on précisera.
  2. Étudier les variations de \(f_{1}\) sur \(\mathbb{R}\) puis dresser son tableau de variation sur \(\mathbb{R}\).
  3. Démontrer que la fonction \(g_{1}\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\]est une primitive de la fonction \(f_{1}\) sur \(\mathbb{R}\).
  4. Étudier le signe de \(f_{1}(x)\) suivant les valeurs du nombre réel \(x\).
  5. Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe \(\mathcal{C}_{1}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = \ln 10\).



Partie B : Propriétés graphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{a}\) et \(\mathcal{C}_{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à \(\mathcal{C}_{b}\) au point O origine du repère.

Antilles Sept 2013 Ex2 courbes

  1. Montrer que pour tout réel \(k\) strictement positif, les courbes \(\mathcal{C}_{k}\) passent par un même point.
    1. Montrer que pour tout réel \(k\) strictement positif et tout réel \(x\) on a \[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
    2. Justifier que, pour tout réel \(k\) strictement positif, \(f_{k}\) admet un maximum et calculer ce maximum.
    3. En observant le graphique ci-dessus, comparer \(a\) et 2. Expliquer la démarche.
    4. Écrire une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_{k}\) au point O origine du repère.
    5. En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de \(b\).

 

 

Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats

Pour tout réel \(k\) strictement positif, on désigne par \(f_{k}\) la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) telle que :
\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]On note \(\mathcal{C}_{k}\) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \(\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)\).
Partie A : Étude du cas \(k = 1\)
On considère donc la fonction \(f_{1}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer les limites de la fonction \(f_{1}\) en \(- \infty\) et en \(+ \infty\). En déduire que la courbe \(\mathcal{C}_{1}\) admet une asymptote que l'on précisera.
  2. $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to - \infty}~x=- \infty\\ \lim\limits_{x \to - \infty}~\text{e}^{-x}=+\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to - \infty}~f_1(x)=- \infty$
    \(f_1(x) = x\text{e}^{-x}=\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\) D'après une limite usuelle , on a \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} =+\infty\), donc par inverse on obtient : \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}} =0\)
       Comme  \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f_1(x) = 0\); la courbe \(\mathcal{C}_1\) possède donc une asymptote horizontale d’équation \(y=0\) au voisinage de \(+\infty\).
  1. Étudier les variations de \(f_{1}\)sur \(\mathbb{R}\) puis dresser son tableau de variation sur \(\mathbb{R}\).
  2. $f_1 $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

    $f_1=uv$ d'où $f_1'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_ \{ f_1\}$ :
    $$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =\text{e}^{-x} \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =1 \\ v'(x)~ =-\text{e}^{-x} \end{array}\right.$$

    Ainsi :
     $$f_1'(x)=\left(1\right) \times \left( \text{e}^{-x}\right) +\left(-\text{e}^{-x}\right) \times \left( x\right)$$


    \[f_1'(x)=(1-x)\text{e}^{-x}\]
    Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) ; le signe de \(f_1′(x)\) ne dépend que de celui de \(1-x\). On obtient donc le tableau de variations suivant :

  3. Démontrer que la fonction \(g_{1}\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\]est une primitive de la fonction \(f_{1}\) sur \(\mathbb{R}\).
  4. $g_1 $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

    $g_1=uv$ d'où $g_1'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_ \{ g_1\}$ :
    $$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ = - (x + 1) \\ v(x)~ =\text{e}^{-x} \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =-1 \\ v'(x)~ =-\text{e}^{-x} \end{array}\right.$$

    Ainsi :
     $$g_1'(x)=\left(-1\right) \times \left( \text{e}^{-x}\right) +\left(-\text{e}^{-x}\right) \times \left( - (x + 1)\right)$$


    \[g_1'(x)=(-1+x+1)\text{e}^{-x}=x\text{e}^{-x}=f_1(x)\]
    \(g_1\) est donc bien une primitive de \(f_1\) sur \(\mathbb{R}\).
  5. Étudier le signe de \(f_{1}(x)\) suivant les valeurs du nombre réel \(x\).
  6. Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) ; \(f_1(x)\) est du signe de \(x\). Donc \(f_1(x) < 0\) sur \(]-\infty;0[\), \(f_1(x) > 0\) sur \(]0;+\infty[\) et \(f_1(0)=0\).
  7. Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe \(\mathcal{C}_{1}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = \ln 10\).
  8. L'aire demandée correspond donc à :
    \[\int_0^{\text{ln }10} f_1(x)\text{d}x = \left[-(x+1)\text{e}^{-x}\right]_0^{\text{ln } 10} = – \dfrac{\text{ln }(10) + 1}{10} + 1 = \dfrac{9 – \text{ln }(10)}{10} ~\text{u.a.}\]



Partie B : Propriétés graphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{a}\) et \(\mathcal{C}_{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à \(\mathcal{C}_{b}\) au point O origine du repère.

Antilles Sept 2013 Ex2 courbes

  1. Montrer que pour tout réel \(k\) strictement positif, les courbes \(\mathcal{C}_{k}\) passent par un même point.
  2. \(f_k(x) = kx\text{e}^{-kx}\) donc \(f_k(0)=0\).
    Par conséquent toutes les courbes \(\mathcal{C}_k\) passent par l’origine du repère.
    1. Montrer que pour tout réel \(k\) strictement positif et tout réel \(x\) on a \[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
    2. $f_k $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

      $f_k=uv$ d'où $f_k'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_ \{ f_k\}$ :
      $$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =\text{e}^{-kx} \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =1 \\ v'(x)~ =-k\text{e}^{-x} \end{array}\right.$$

      Ainsi :
       $$f_k'(x)=\left(1\right) \times \left( \text{e}^{-kx}\right) +\left(-k\text{e}^{-x}\right) \times \left( x\right)$$


      \[f_k'(x)=k(1 - kx)\text{e}^{- kx}\]
    3. Justifier que, pour tout réel \(k\) strictement positif, \(f_{k}\) admet un maximum et calculer ce maximum.
    4. \(f_k’(x)\) est donc du signe de \((1-kx)\).
      La fonction \(f_k\) est par conséquent croissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{k}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[\).
      Elle admet donc un maximum en \(\dfrac{1}{k}\) et \(f_k\left(\dfrac{1}{k}\right)=\text{e}^{-1}\).
    5. En observant le graphique ci-dessus, comparer \(a\) et 2. Expliquer la démarche.
    6. L’abscisse du sommet est \(\dfrac{1}{k}\). Graphiquement, on constate que le sommet de \(\mathcal{C}_a\) est situé, horizontalement, avant celui de \(\mathcal{C}_2\).
      Par conséquent \(a > 2\).
    7. Écrire une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_{k}\) au point O origine du repère.
    8. La tangente $Tk$ à $\mathcal{C}_{k}$ au point d'abscisse $a= 0$ a pour équation : $$y=f_k'(0)(x-0)+f_k(0)$$ Ici $a= 0$, on calcule successivement :

      • $f_k\left(0 \right)=0$
      • $f_k'\left (0\right )=k$

      Ainsi $Tk:y=k\left (x-0\right )+0$


      Une équation de la tangente en \(O\) est donc \(y= kx\).
    9. En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de \(b\).
    10. On constate que le coefficient directeur de \(T\) est environ \(\dfrac{0,6}{0,2} = 3\). Donc \(b=3\).

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