Bac S 2013 , Antilles Guyane septembre 2013 : Géométrie dans l'espace

oui
non
S
Année 2013
Antilles Guyanne
QCM,Géométrie

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée de connaissances
Soit \(\Delta\) une droite de vecteur directeur \(\vec{v}\) et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D\(_{1}\) de vecteur directeur \(\vec{u_{1}}\) et la droite D\(_{2}\) de vecteur directeur \(\vec{u_{2}}\). Montrer que \(\Delta\) est orthogonale à toute droite de P si et seulement si \(\Delta\) est orthogonale à D\(_{1}\) et à D\(_{2}\).

Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points
\[\text{A}(0 ; - 1 ; 1),\quad \text{B}(4 ; -3 ; 0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1 ; -2 ; -1).\]On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle \(\Delta\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.\) avec \(t\) appartenant à \(\mathbb{R}\). Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. Affirmation 1 : \(\Delta\) est orthogonale à toute droite du plan P.
  2. Affirmation 2 : les droites \(\Delta\) et (AB) sont coplanaires.
  3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne \(x + 3y - 2z + 5 = 0\).
  4. On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur \(\vec{u}(11 ; - 1 ; 4)\).
    Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation \(x + 3y - 2z + 5 = 0\).

 

 

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée de connaissances
Soit \(\Delta\) une droite de vecteur directeur \(\vec{v}\) et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D\(_{1}\) de vecteur directeur \(\vec{u_{1}}\) et la droite D\(_{2}\) de vecteur directeur \(\vec{u_{2}}\). Montrer que \(\Delta\) est orthogonale à toute droite de P si et seulement si \(\Delta\) est orthogonale à D\(_{1}\) et à D\(_{2}\).

Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points
\[\text{A}(0 ; - 1 ; 1),\quad \text{B}(4 ; -3 ; 0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1 ; -2 ; -1).\]On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle \(\Delta\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.\) avec \(t\) appartenant à \(\mathbb{R}\). Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Si \(\Delta\) est orthogonale à toute droite de \(P\) alors \(\Delta\) est en particulier orthogonale à \(D_1\) et à \(D_2\).

Réciproquement, si \(\Delta\) est orthogonale à \(D_1\) et \(D_2\), on a alors \(\vec{u_1}.\vec{v} = 0\) et \(\vec{u_2}.\vec{v} = 0\). Les \(2\) droites \(D_1\) et \(D_2\) étant sécantes, les vecteurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) forment une base du plan \(P\).

Soit \(\vec{u}\) un vecteur directeur d’une droite \(D\) de \(P\). Il existe donc \(2\) réels \(a\) et \(b\) tels que : \(\vec{u}=a\vec{u_1}+b\vec{u2}\).

Par conséquent \(\vec{u}.\vec{v} = a\vec{u_1}.\vec{v}+b\vec{u_2}.\vec{v} = 0\).

Les droites \(D\) et \(\Delta\) sont bien orthogonales.

  1. Affirmation 1 : \(\Delta\) est orthogonale à toute droite du plan P.
  2. \(\vec{AB}(4;-2;-1)\) et \(\vec{AC}(-1;-1;-2)\). On constate que \(\dfrac{4}{-1} \ne \dfrac{-2}{-1}\). Par conséquent ces \(2\) vecteurs ne sont colinéaires et les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont sécantes.
    Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{v}(1;3;-2)\).
    \(\vec{v}.\vec{AB} = 1 \times 4 + 3 \times (-2) – 2 \times (-1) = 4 – 6 + 2 = 0\)
    \(\vec{v}.\vec{AC} = 1 \times (-1) + 3 \times (-1) – 2 \times (-2) = -1 – 3 + 4 = 0\)
    La droite \(\Delta\) est donc orthogonale à \(2\) droites sécantes de \(P\). Elle est, par conséquent, orthogonale à toute droite du plan \(P\) d’après la propriété démontrée dans la partie A.
    Affirmation vraie
  3. Affirmation 2 : les droites \(\Delta\) et (AB) sont coplanaires.
  4. Une représentation paramétrique de \((AB)\) est : \(\left\{ \begin{array}{l} x=4k \\\\y=-1-2k \qquad k\in\mathbb{R}\\\\z=1-k \end{array} \right.\).
    Essayons de trouver un point commun à \((AB)\) et \(\Delta\).
    \(\left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\3t-1=-1-2k \\\\-2t+8=1-k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\12k-1=-1-2k \\\\-8k-8=1-k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\k=0 \\\\k=1 \end{array} \right.\)
    Les \(2\) droites sont orthogonales et n’ont pas de point commun. Elles ne sont donc pas coplanaires.
    Affirmation fausse
  5. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne \(x + 3y - 2z + 5 = 0\).
  6. \(\vec{v}(1;3;-2)\) est normal au plan \(P\). Une équation cartésienne de \(P\) est donc de la forme : \(x+3y-2z+d = 0\).
    Le point \(A\in P\). Donc \(3 \times (-1) – 2 \times 1 + d = 0\) soit \(d = 5\).
    Affirmation vraie
  7. On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur \(\vec{u}(11 ; - 1 ; 4)\).

    ffirmation 4
    : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation \(x + 3y - 2z + 5 = 0\).
  8. Regardons si \(\vec{v}\) et \(\vec{u}\) sont orthogonaux.
    \(\vec{v}.\vec{u} = 11 \times 1 – 1 \times 3 + 4 \times (-2) = 11 – 3 – 8 = 0\).
    \(D\) est donc parallèles au plan au plan \(P\) ou contenue dans ce plan.
    Or l’origine du repère n’appartient pas au plan \(P\) (car \(0 \ne 5\)).
    Affirmation fausse

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