Bac S 2013 Centres étrangers : Suites

oui
non
S
Année 2013
Centres étrangers
Suites

Exercice 4 5 points


Candidats n'avant pas choisi la spécialité mathématique

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par son premier terme
\(u_{1}=\dfrac{3}{2}\) et la relation de récurrence : \(u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}\).

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme \(u_{9}\) de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.

\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dots\\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dots\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \hline \text{ Sortie }& \text{Afficher la variable } u \\ \hline \end{array}\]

  1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
  2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de \(u_{2}\) jusqu'à \(u_{9}\) ?
  3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline u_{n} &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &0,2063 &0,1693 &\dots&0,0102 &0,0101 \\ \hline \end{array}\]



Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire \(\left(v_{n}\right)\) par : pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(v _{n} = nu_{n} -1\).

  1. Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

  2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), on a : \(u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}\).
  3. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
  4. Justifier que, pour tout entier \(n\geqslant 1\) , on a : \(u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}\).
    En déduire le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)\).



Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier \(n\) tel que \(u_{n} < 0,001\).

 

 

Exercice 4 5 points


Candidats n'avant pas choisi la spécialité mathématique

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par son premier terme
\(u_{1}=\dfrac{3}{2}\) et la relation de récurrence : \(u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}\).

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme \(u_{9}\) de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.

 

  1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
  2. \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}\\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur }n+1\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \hline \text{ Sortie }& \text{Afficher la variable } u \\ \hline \end{array}\]
  3. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de \(u_{2}\) jusqu'à \(u_{9}\) ?
  4. \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}\\ & \text{Afficher la variable } u \\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur }n+1\\ & \text{ Fin Tant que }\\\hline \end{array}\]
  5. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline u_{n} &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &0,2063 &0,1693 &\dots&0,0102 &0,0101 \\ \hline \end{array}\]


Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire \(\left(v_{n}\right)\) par : pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(v _{n} = nu_{n} -1\).

  1. Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

  2. \[\begin{array} {l}v_{n+1} &= (n+1)u_{n+1} – 1 \\ &=(n+1) \times \dfrac{n\times u_n + 1}{2(n+1)} – 1\\ &=\dfrac{n \times u_n + 1}{2} – \dfrac{2}{2} \\ &=\dfrac{n \times u_n – 1}{2} \\ &=\dfrac{1}{2} \times v_n \end{array}
    \]
    \((v_n)\) est donc une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
    Son premier terme est \(v_1 = 1\times u_1 – 1 = \dfrac{1}{2}\).
    \(~\)
  3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), on a : \(u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}\).
  4. On a donc \(v_n =q^{n-1}v_1= 0,5 \times 0,5^{n-1} = 0,5^n\).
    Par conséquent \(u_n = \dfrac{v_n+1}{n} = \dfrac{1+0,5^n}{n}\)
    \(~\)
  5. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
  6. \(-1 < 0,5 < 1\) donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0\). De plus \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\).
    Donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = 0\)
    \(~\)
  7. Justifier que, pour tout entier \(n\geqslant 1\) , on a : \(u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}\).
    En déduire le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
  8. \[\begin{array}{l} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{1+0,5^{n+1}}{n+1} – \dfrac{1 + 0,5^n}{n} \\ &= \dfrac{n+n\times 0,5^{n+1} – (n+1) – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + n \times 0,5^{n+1} – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + (0,5n-n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + (-0,5n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &= – \dfrac{1 + (0,5n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \end{array} \]
    Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont positifs.
    Donc \(u_{n+1}-u_n <0\). La suite \((u_n)\) est par conséquent décroissante.
    \(~\)



Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier \(n\) tel que \(u_{n} < 0,001\).

 

Variables :
\(\qquad\) \(n\) est un entier naturel
\(\qquad\) \(u\) est un réel
Initialisation :
\(\qquad\) Affecter à  \(n\) la valeur \(1\)
\(\qquad\) Affecter à \(u\) la valeur \(1,5\)
Traitement :
\(\qquad\) Tant que \(u \geq  0,001\)
\(\qquad\) \(\quad\) Affecter à \(u\) la valeur \(\dfrac{n\times u + 1}{2(n+1)}\)
\(\qquad\) \(\quad\) Affecter à \(n\) la valeur \(n+1\)
\(\qquad\) Fin Tant que
Sortie :
\(\qquad\)  Afficher la variable  \(n\)

 

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