Bac S 2013 Centres étrangers, Calcul intégral et fonction exp

oui
non
S
Année 2013
Centres étrangers
Calcul intégral,Fonction exp

Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

On considère la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0  ; 1]\) par :
\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]
On admet que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0 ;  1]\), \(g(x) >0\).

On note \(\mathscr{C}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal, et \(\mathscr{D}\) le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe \(\mathscr{C}\), d'autre part entre les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = 1 \).

La courbe \(\mathscr{C}\) et le domaine \(\mathscr{D}\) sont représentés ci-dessous.

Centres Etrangers 2013 Ex3 fig1

Le but de cet exercice est de partager le domaine \(\mathscr{D}\) en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit \(a\) un réel tel que \(0\leqslant a\leqslant 1\). On note \(\mathscr{A}_{1}\) l'aire du domaine compris entre la courbe \(\mathscr{C}\), l'axe \((Ox)\),les droites d'équation \(x = 0\) et \(x =a\) , puis \(\mathscr{A}_{2}\) celle du domaine compris entre la courbe \(\mathscr{C}\), \((Ox)\) et les droites d'équation \(x = a\) et \(x = 1\). \(\mathscr{A}_{1}\) et \(\mathscr{A}_{2}\) sont exprimées en unités d'aire.

Centres Etrangers 2013 Ex3 fig2

    1. Démontrer que \(\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1\).
    2. Exprimer \(\mathscr{A}_{2}\) en fonction de \(a\).
  1. Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0 ; 1]\) par :
    \[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]
    1. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0 ; 1]\). On précisera les valeurs exactes de \(f(0)\) et \(f(1)\).
    2. Démontrer que la fonction \(f\) s'annule une fois et une seule sur l'intervalle \([0 ; 1]\). en un réel \(\alpha\). Donner la valeur de \(\alpha\) arrondie au centième.
  2. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel \(a\) pour lequel les aires \(\mathscr{A}_{1}\) et \(\mathscr{A}_{2}\) sont égales.


Partie B

Soit \(b\) un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine \(\mathscr{D}\) en deux domaines de même aire par la droite d'équation \(y=b\). On admet qu'il existe un unique réel \(b\) positif solution.

  1. Justifier l'inégalité \(b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}\). On pourra utiliser un argument graphique.
  2. Déterminer la valeur exacte du réel \(b\).

 

 

Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

On considère la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0  ; 1]\) par :
\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]
On admet que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0 ;  1]\), \(g(x) >0\).

On note \(\mathscr{C}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal, et \(\mathscr{D}\) le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe \(\mathscr{C}\), d'autre part entre les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = 1 \).

La courbe \(\mathscr{C}\) et le domaine \(\mathscr{D}\) sont représentés ci-dessous.

Centres Etrangers 2013 Ex3 fig1

Le but de cet exercice est de partager le domaine \(\mathscr{D}\) en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit \(a\) un réel tel que \(0\leqslant a\leqslant 1\). On note \(\mathscr{A}_{1}\) l'aire du domaine compris entre la courbe \(\mathscr{C}\), l'axe \((Ox)\),les droites d'équation \(x = 0\) et \(x =a\) , puis \(\mathscr{A}_{2}\) celle du domaine compris entre la courbe \(\mathscr{C}\), \((Ox)\) et les droites d'équation \(x = a\) et \(x = 1\). \(\mathscr{A}_{1}\) et \(\mathscr{A}_{2}\) sont exprimées en unités d'aire.

Centres Etrangers 2013 Ex3 fig2

    1. Démontrer que \(\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1\).
    2. \(\mathscr{A}_1 = \displaystyle \int_0^a g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_0^a = a - \text{e}^{-a} + 1\)
      \(~\)
    3. Exprimer \(\mathscr{A}_{2}\) en fonction de \(a\).
    4. \(\mathscr{A}_2 = \displaystyle \int_a^1 g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_a^1 = 1 - \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a}\)
      \(~\)
  1. Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0 ; 1]\) par :
    \[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]
    1. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0 ; 1]\). On précisera les valeurs exactes de \(f(0)\) et \(f(1)\).
    2. La fonction \(f\) est une somme de fonctions dérivables sur \([0;1]\). Elle l’est donc aussi.
      \(f’(x) = 2 + 2\text{e}^{-x} > 0\) puisque la fonction exponentielle est toujours positive.
    3. Démontrer que la fonction \(f\) s'annule une fois et une seule sur l'intervalle \([0 ; 1]\). en un réel \(\alpha\). Donner la valeur de \(\alpha\) arrondie au centième.
    4. D'après le théorème de la bijection :
      • $f $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left[0 ; 1\right]$.
      • $f$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I = \left[0 ; 1\right]$.
      • $f\left(0\right)=-2+\dfrac{1}{e}$ et $f\left(1\right)=2-\dfrac{1}{e}$
      $f$ réalise donc une bijection de $\left[0;1\right]$ sur $\left[2-\dfrac{1}{e};-2+\dfrac{1}{e}\right]$
      $0$ est compris entre $2-\dfrac{1}{e}$ et $-2+\dfrac{1}{e}$,
      donc l'équation $f(x) = 0 $ a une racine unique $\alpha$ dans $\left[0 ; 1\right]$ .
      \(0,452 < \alpha < 0,453\) donc \(\alpha \approx 0,45\)
  2. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel \(a\) pour lequel les aires \(\mathscr{A}_{1}\) et \(\mathscr{A}_{2}\) sont égales.
  3. \[\begin{array}{l} \text{Les} 2 \text{ aires sont égales} &\Leftrightarrow a - \text{e}^{-a} + 1 = 1 - \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a} \\ & \Leftrightarrow 2a – 2\text{e}^{-a} + \text{e}^{-1} = 0 \\ & \Leftrightarrow f(a) = 0 \end{array} \]
    Une valeur approchée de la solution est donc \(0,45\).
    \(~\)


Partie B

Soit \(b\) un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine \(\mathscr{D}\) en deux domaines de même aire par la droite d'équation \(y=b\). On admet qu'il existe un unique réel \(b\) positif solution.

  1. Justifier l'inégalité \(b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}\). On pourra utiliser un argument graphique.
  2. Il faut que \(b < g(1)\) car sinon la portion de \(\mathscr{D}\) au-dessus de la droite est inférieure à \((2-g(1)) \times (1-0) = 2-(1+\text{e}^{-1} )= 1 - \text{e}^{-1}\) (aire du rectangle incluant cette portion).
    L’aire de la portion de \(\mathscr{D}\) sous la droite est donc supérieure à \(g(1) \times (1-0) = 1 + \text{e}^{-1}\).
  3. Déterminer la valeur exacte du réel \(b\).
  4. On veut que \(\displaystyle \int_0^1 g(x)\text{d}x – b\times(1-0) = b \times (1-0) \Leftrightarrow \int_0^1 g(x) \text{d}x = 2b\)
    Par conséquent :
    \[ \begin{array}{l} b &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 g(x)\text{d}x \\ & = \dfrac{1}{2} \left[ x - \text{e}^{-x} \right]_0^1 \\ &=\dfrac{1}{2}((1 - \text{e}^{-1} + 1) \\ &=\dfrac{1}{2}(2-\text{e}^{-1}) \end{array} \]

 

 

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