Bac S 2013 Polynésie Calcul intégral, fonction exponentielle

oui
non
S
Année 2013
Polynésie
Calcul intégral,Fonction exp

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats


On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]
On note \(\mathscr C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.

  1. Étude de la fonction \(f\).
    1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe \(\mathscr C\) avec les axes du repère.
    2. Étudier les limites de la fonction \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe \(\mathscr C\).
    3. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.

  3. On note \(\mathscr D\) le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe \(\mathscr C\) et les droites d'équation \(x=0\) et \(x=1\). On approche l'aire du domaine \(\mathscr D\) en calculant une somme d'aires de rectangles.
    1. Dans cette question, on découpe l'intervalle \([0 ; 1]\) en quatre intervalles de même longueur :
      • Sur l'intervalle \(\left[0 ; \dfrac{1}{4} \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f(0)\)
      • Sur l'intervalle \(\left[\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2} \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f\left( \dfrac{1}{4} \right)\)
      • Sur l'intervalle \(\left[\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{4} \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f\left(\dfrac{1}{2} \right)\)
      • Sur l'intervalle \(\left[ \dfrac{3}{4} ; 1 \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f\left( \dfrac{3}{4} \right)\)
      Cette construction est illustrée ci-dessous.

      L'algorithme ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine \(\mathscr D\) en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents : \[\begin{array}{|rl|} \hline \text{Variables :} & k\; \text{ est un nombre entier} \\ & S \;\text{est un nombre réel} \\ \text{Initialisation : }& \text{Affecter à }S \;\text{la valeur 0 }\\ \text{ Traitement : }& \text{Pour } k \text{ variant de 0 à 3} \\ &   \left\vert \text{ Affecter à } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{4} f\left( \dfrac{k}{4} \right)\right. \\ & \text{Fin Pour} \\ Sortie : & \text{Afficher } S \\ \hline \end{array}\]Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près du résultat affiché par cet algorithme.
    2. Dans cette question, \(N\) est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle \([0 ; 1]\) en \(N\) intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a.
      Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des \(N\) rectangles ainsi construits.
  4. Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.
    Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[g(x)=(- x - 3) \text{e}^{-x}.\]
    On admet que \(g\) est une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
    1. Calculer l'aire \(\mathscr A\) du domaine \(\mathscr D\), exprimée en unités d'aire.
    2. Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de l'erreur commise en remplaçant \(\mathscr A\) par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2. a, c'est-à-dire l'écart entre ces deux valeurs.

 

 

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats


On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]
On note \(\mathscr C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.

  1. Étude de la fonction \(f\).
    1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe \(\mathscr C\) avec les axes du repère.
    2. Points d’intersection avec l’axe des abscisses :
      On cherche donc à résoudre:
      \[\begin{array}{ll} f(x) = 0 & \Leftrightarrow (x+2)\text{e}^{-x} = 0 \\ & \Leftrightarrow x+2 = 0 \\ & \Leftrightarrow x = -2 \end{array}
      \]
      Le point d’intersection de \(\mathscr{C}\) avec l’axe des abscisses a pour coordonnées \((-2;0)\)

      \(~\)
      Point d’intersection avec l’axe des ordonnées : \(f(0)=2\).
      Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées \((0;2)\).
      \(~\)
    3. Étudier les limites de la fonction \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe \(\mathscr C\).
    4. $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}~x+2=-\infty\\ \lim\limits_{x \to -\infty}~\text{e}^{-x}=+\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to -\infty}~f(x)=-\infty$ \(~\)
      \(f(x) = x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x}\).
      Par conséquent \(\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} x\text{e}^{-x} = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}-x\text{e}^x = 0\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \text{e}^{-x} = 0\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0\)
      Donc la droite déquation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathscr C\) au voisinage de \(+\infty\).

      \(~\)
    5. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
    6. $f $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

      $f=uv$ d'où $f'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_ \{ f\}$ :
      $$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x+2 \\ v(x)~ =\text{e}^{-x} \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =1 \\ v'(x)~ =-\text{e}^{-x} \end{array}\right.$$

      Ainsi :
       $$f'(x)=\left(1\right) \times \left( \text{e}^{-x}\right) +\left(-\text{e}^{-x}\right) \times \left( x+2\right)$$

      \[f'(x)=\text{e}^{-x}[1-(x+2)]=\text{e}^{-x}(-1-x)\]La fonction exponentielle étant strictement positive sur \( \mathbb{R}\), \(f'(x)\) a le signe de \(-x-1\).
      • \(f'(x)=0 \iff -x-1= 0 \iff x =-1 \)
      • \( f'(x)>0 \iff -x-1 > 0 \iff - x > -1 \iff x < 1 \)
      D'où le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.

  3. On note \(\mathscr D\) le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe \(\mathscr C\) et les droites d'équation \(x=0\) et \(x=1\). On approche l'aire du domaine \(\mathscr D\) en calculant une somme d'aires de rectangles.
    1. Dans cette question, on découpe l'intervalle \([0 ; 1]\) en quatre intervalles de même longueur :
      • Sur l'intervalle \(\left[0 ; \dfrac{1}{4} \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f(0)\)
      • Sur l'intervalle \(\left[\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2} \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f\left( \dfrac{1}{4} \right)\)
      • Sur l'intervalle \(\left[\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{4} \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f\left(\dfrac{1}{2} \right)\)
      • Sur l'intervalle \(\left[ \dfrac{3}{4} ; 1 \right]\), on construit un rectangle de hauteur \(f\left( \dfrac{3}{4} \right)\)
      Cette construction est illustrée ci-dessous.
      L'algorithme ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine \(\mathscr D\) en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents : \[\begin{array}{|rl|} \hline \text{Variables :} & k\; \text{ est un nombre entier} \\ & S \;\text{est un nombre réel} \\ \text{Initialisation : }& \text{Affecter à }S \;\text{la valeur 0 }\\ \text{ Traitement : }& \text{Pour } k \text{ variant de 0 à 3} \\ &   \left\vert \text{ Affecter à } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{4} f\left( \dfrac{k}{4} \right)\right. \\ & \text{Fin Pour} \\ Sortie : & \text{Afficher } S \\ \hline \end{array}\]Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près du résultat affiché par cet algorithme.
    2. On a donc \[\begin{array}{l} S &= \dfrac{1}{4}\left(f(0)+f(\left(\dfrac{1}{4}\right) + f\left(\dfrac{1}{2} \right) + f\left(\dfrac{3}{4} \right) \right) \\ &\approx 1,642 \text{ à} 10^{-3} \text{ près} \end{array}
      \]
    3. Dans cette question, \(N\) est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle \([0 ; 1]\) en \(N\) intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a.
      Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des \(N\) rectangles ainsi construits.
    4. Chacun des \(N\) rectangles a une largeur de \(\dfrac{1}{N}\)
      \[\begin{array}{|rl|} \hline \text{Variables :} & k\; \text{ est un nombre entier} \\ & S \;\text{est un nombre réel} \\ \text{Initialisation : }& \text{Affecter à }S \;\text{la valeur 0 }\\ \text{ Traitement : }& \text{Pour } k \text{ variant de 0 à } N -1\\ &   \left\vert \text{ Affecter à } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{N} f\left( \dfrac{k}{N} \right)\right. \\ & \text{Fin Pour} \\ Sortie : & \text{Afficher } S \\ \hline \end{array}\]
  4. Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.
    Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[g(x)=(- x - 3) \text{e}^{-x}.\]
    On admet que \(g\) est une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
    1. Calculer l'aire \(\mathscr A\) du domaine \(\mathscr D\), exprimée en unités d'aire.
    2. On a donc :
      \[ \begin{array}{l} \mathscr{A} &= \int_0^1 f(x) \text{d}x \\ & =g(1) – g(0) \\ &=-4\text{e}^{-1} + 3 \text{ u.a.} \end{array}\]
    3. Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de l'erreur commise en remplaçant \(\mathscr A\) par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2. a, c'est-à-dire l'écart entre ces deux valeurs.
    4. L’erreur commise est donc : \(S – \mathscr{A} \approx 0,114\) à \(10^{-3}\) près.

 

 

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