Bac S 2013 Amérique du Nord Fonction ln

oui
non
S
Année 2013
Amérique du Nord
Fonction ln
 


Exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\) par
\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]
et soit \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère du plan. La courbe \(\mathcal{C}\) est donnée ci-dessous :

    1. Étudier la limite de \(f\) en \(0\).
    2. Que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}\) ? En déduire la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).
    3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe \(\mathcal{C}\).
    1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\).
      Démontrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0 ; + \infty[\),
      \[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
    2. Résoudre sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\) l'inéquation \(-1 - 2\ln (x) > 0\). En déduire le signe de \(f'(x)\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\).
    3. Dresser le tableau des variations de la fonction \(f\).
    1. Démontrer que la courbe \(\mathcal{C}\) a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
    2. En déduire le signe de \(f(x)\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\).
    3. Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(I_{n}\) l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}\) et les droites d'équations respectives \(x = \dfrac{1}{\text{e}}\) et \(x = n\).
      1. Démontrer que \(0 \leqslant I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}\).
      2. On admet que la fonction \(F\), définie sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\) par \(F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}\),est une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\).
      3. Calculer \(I_{n}\) en fonction de \(n\).
      4. Étudier la limite de \(I_{n}\) en \(+ \infty\). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

 


Exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\) par

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]
et soit \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère du plan. La courbe \(\mathcal{C}\) est donnée ci-dessous :

    1. Étudier la limite de \(f\) en \(0\).
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty\) \(\quad \lim\limits_{x \rightarrow 0} (1 + \text{ln }x) = -\infty\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = -\infty\).
      \(\quad\)
      $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x^2}=+\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~ (1 + \ln x)=-\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to 0^+}~f(x)=-\infty$
    3. Que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln (x)}{x}\) ? En déduire la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).
    4. D'après un résultat du cours on a : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=0\)
      Pour calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\), on écrit \(f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2} = \dfrac{1 }{x^2}+\dfrac{ \ln (x)}{x^2}\)
      $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{1}{x}=0\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~ \dfrac{\ln (x)}{x}=0 \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to +\infty}~ \dfrac{\ln (x)}{x^2}=0$
      $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{1}{x^2}=0\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~ \dfrac{\ln (x)}{x^2}=0 \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{x \to +\infty}~ f(x)=0$
    5. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe \(\mathcal{C}\).
    6. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty\) donc la droite d'équation \(x=0\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}\)
      \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0\) donc la droite d'équation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) au voisinage de \(+\infty\)
    1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\).
      Démontrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0 ; + \infty[\),
      \[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
    2. $f$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas:
      $f=\dfrac{u}{v}$ d'où $f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2} $ avec pour tout réel $x$, dans $D_  {f}$ :
      $\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =1 + \ln x \\ v(x)~ = x^2 \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\dfrac{1}{x} \\ v'(x)~ =2x \end{array}\right.$ 

      $$f'(x)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{x} \right ) \times\left(2x\right )- \left(\dfrac{1}{x} \right ) \times\left(1 + \ln x \right )}{\left(2x\right )^2}$$

    3. Résoudre sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\) l'inéquation \(-1 - 2\ln (x) > 0\). En déduire le signe de \(f'(x)\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\).
    4. \[ \begin{array}{ l l l } -1 - 2\ln (x) > 0 & \Longleftrightarrow - 2\ln (x) > 1 & \\ & \Longleftrightarrow \ln (x) < \frac{ 1}{2} & \text{car on divise par } -2 < 0\\ & \Longleftrightarrow 0 < x < \text{e} ^{-\frac{1}{2}} &\text{car } exp \text{  est strictement croissante sur } \mathbb{R} \\ \end{array}\]
      Par conséquent, puisque \(x^3\) est positif sur \(]0;+\infty[\), \(f'(x)\) est positif sur \(]0;\text{e}^{-0,5}[\) et négatif sur \( ]\text{e}^{-0,5};+\infty[\).
      \(\quad\)
    5. Dresser le tableau des variations de la fonction \(f\).

    6. On a \(f(\text{e}^{-0,5}) = \dfrac{0,5}{\text{e}^{-1}} = 0,5\text{e}=\dfrac{\text{e}}{2}\).
    1. Démontrer que la courbe \(\mathcal{C}\) a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
    2. \(f(x) = 0 \Leftrightarrow 1 + \text{ln } x = 0 \Leftrightarrow x = \text{e}^{-1}\).
      La courbe \(\mathcal{C}\) coupe donc l'axe des abscisses en un seul point de coordonnées \((\text{e}^{-1};0)\).
    li>
  1. En déduire le signe de \(f(x)\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\).
  2. A partir du tableau de variation : 

    Ayant \(-1< -0,5\) on déduit grâce à la stricte croissance de la fonction exponentielle \(\text{e}^{-1} < \text{e}^{-0,5}\) par conséquent sur \(]0;\text{e}^{-1}[\), \(f(x) < 0\).
    Sur \(]\text{e}^{-1};+\infty[\), \(f(x) > 0\).
    Et \(f(\text{e}^{-1}) = 0\)
    \(\quad\)
  • Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(I_{n}\) l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}\) et les droites d'équations respectives \(x = \dfrac{1}{\text{e}}\) et \(x = n\).
    1. Démontrer que \(0 \leqslant I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}\).
    2. On admet que la fonction \(F\), définie sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\) par \(F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}\),est une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0 ; + \infty[\). On cherche donc \(\displaystyle I_2 = \int_{1/\text{e}}^2 f(x)\text{d}x\).
      \(\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}\) donc \(f\) est continue et positive sur \([\text{e}^{-1};2]\) et \(I_2 \ge 0\).
      De plus \(f(x) \le f(\text{e}^{-0,5})\). Par conséquent \(I_2 \le 0,5\text{e}\left(2 – \dfrac{1}{\text{e}} \right)\) soit \(I_2 \le \text{e} – \dfrac{1}{2}\).
      Donc finalement, \(0 \le I_2 \le \text{e} – \dfrac{1}{2}\).
      \(\quad\)
    3. Calculer \(I_{n}\) en fonction de \(n\).
    4. \(I_n = F(n) – F\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)\) \( = \dfrac{-2 – \text{ln }n}{n} – \dfrac{-2 + 1}{\dfrac{1}{\text{e}}}\) \( = \dfrac{-2 – \text{ln }n}{n} + \text{e}\).
      \(\quad\)
    5. Étudier la limite de \(I_{n}\) en \(+ \infty\). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
    6. $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{-2 }{n}=0\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{ \text{ln }n\=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}~\6=\7$ 

       

      \{n\}|0|\dfrac\{-2 -\text\{ln \}n\}\{n\}|0|somme}
      \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{-2 – \text{ln }n}{n} = 0\) donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} I_n = \text{e}\).
      Cela signifie donc que l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=n\) et \(x=\dfrac{1}{\text{e}}\) tend vers \(\text{e}\).
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