Bac S 2013 Amérique du Nord Spécialité

oui
non
S
Année 2013
Amérique du Nord
Spécialité
 

Exercice 2 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ & b \text{est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de  }a\\ & \text{Demander la valeur de } b\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > b\\ & \begin{array}{|c|}  \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - b \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } c\\ & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}
\]

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec \(a = 13\) et \(b = 4\) en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
  2. Que permet de calculer cet algorithme ?


Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre \(0\) et \(25\).

\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array}

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

  • Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre \(m\) correspondant dans le tableau.
  • Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de \(9m + 5\) par \(26\) et on le note \(p\).
  • Étape 3 : Au nombre \(p\), on associe la lettre correspondante dans le tableau.

 

  1. Coder la lettre U.
  2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de \(m\) entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de \(p\), calculée à l'aide du procédé de codage précédent.


Partie C

  1. Trouver un nombre entier \(x\) tel que \(9x \equiv 1\quad [26]\).
  2. Démontrer alors l'équivalence :
    \[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\]
  3. Décoder alors la lettre B.

 

Exercice 2 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ & b \text{est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de  }a\\ & \text{Demander la valeur de } b\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > b\\ & \begin{array}{|c|}  \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - b \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } c\\ & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}
\]

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec \(a = 13\) et \(b = 4\) en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
  2. Voici l’état des variables \(a\),\(b\) (qui ne varie pas !) et \(c\).
    \(a\) \(13\) \(9\) \(5\) \(1\)
    \(b\) \(4\) \(4\) \(4\) \(4\)
    \(c\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)

    \(\quad\)

  3. Que permet de calculer cet algorithme ?
  4. Cet algorithme permet de calculer le quotient et le reste de \(a\) par \(b\).

     


Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre \(0\) et \(25\).

\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array}

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

  • Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre \(m\) correspondant dans le tableau.
  • Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de \(9m + 5\) par \(26\) et on le note \(p\).
  • Étape 3 : Au nombre \(p\), on associe la lettre correspondante dans le tableau.

 

  1. Coder la lettre U.
  2. La lettre U est associée au nombre \(20\). \(9 \times 20 + 5 = 185\) et \( 185 \equiv 3 [26]\).
    Donc la lettre U est codée par D.
    \(\quad\)
  3. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de \(m\) entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de \(p\), calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
  4. \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de }a\\ & \text{Affecter à } a \text{ la valeur } 9\times a +5\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > 26\\ & \begin{array}{|c|} \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - 26 \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}\]


Partie C

  1. Trouver un nombre entier \(x\) tel que \(9x \equiv 1\quad [26]\).
  2. \(9 \times 3 = 27 \equiv 1 [26]\).
    On peut donc prendre \(x=3\)
    \(\quad\)
  3. Démontrer alors l'équivalence :
    \[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\]
  4. \(9m+5 \equiv p[26]\) \(\Leftrightarrow 3 \times (9m + 5) \equiv 3p [26]\) \(\Leftrightarrow 3 \times 9 \times m + 15 \equiv 3p [26]\) \(\Leftrightarrow m = 3p-15 [26]\) car \(3\times 9 \equiv 1[26]\).
    \(\quad\)
  5. Décoder alors la lettre B.
  6. La lettre B est associée à \(1\).
    Prenons donc \(p=1\).
    D’après la question précédente \(m \equiv 3 \times 1 – 15[26]\) soit \(m \equiv -12[26]\) et donc \(m \equiv 14 [26]\).
    Donc la lettre B a été trouvée en prenant la lettre O.

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