Bac S 2013 Amérique du Nord Suites

oui
non
S
Année 2013
Amérique du Nord
Suites

Exercice 2 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),
\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

  1. On considère l'algorithme suivant :
    \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}&n \text{ est un entier naturel}\\ &u \text{ est un réel positif}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander la valeur de } n\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}&\text{Pour } i \text{variant de }1 \text{ à } n :\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt{2u}\\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie :}& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}\]
    1. Donner une valeur approchée à \(10^{-4}\) près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit \(n = 3\).
    2. Que permet de calculer cet algorithme ?
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de \(n\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline \text{Valeur affichée} &\ 1,4142 & 1,9571 & 1,9986 & 1,9999 & 1,9999 \\ \hline \end{array}\]
      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \(\left(u_{n}\right)\) ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2\).
    2. Déterminer le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
    3. Démontrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  2. On considère la suite \(\left(v_{n}\right)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2\).
    1. Démontrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est la suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(v_{0} = - \ln 2\).
    2. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), l'expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\), puis de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
    3. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_{n} > 1,999\). \[ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} & n \text{ est un entier naturel}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Initialisation :}&\text{ Affecter à } \, n \text{ la valeur } 0 \\ &\text{Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement : }&\\ &\\ \text{Sortie : } &\\ \hline \end{array}\]
 

Exercice 2 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),
\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

  1. On considère l'algorithme suivant :
    \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}&n \text{ est un entier naturel}\\ &u \text{ est un réel positif}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander la valeur de } n\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}&\text{Pour } i \text{variant de }1 \text{ à } n :\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt{2u}\\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie :}& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}\]
    1. Donner une valeur approchée à \(10^{-4}\) près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit \(n = 3\).
    2. Voici les valeurs que nous donne l’algorithme
      I u
      \(0\) \(1\)
      \(1\) \(1,41421356\)
      \(2\) \(1,68179283\)
      \(3\) \(1,83400809\)

      L’algorithme fournit donc la valeur \(1,8340\) à \(10^{-4}\) près.
      \(\quad\)

    3. Que permet de calculer cet algorithme ?
    4. L’algorithme fournit donc la valeur \(1,8340\) à \(10^{-4}\) près.
      \(\quad\)
    5. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour
      certaines valeurs de \(n\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline \text{Valeur affichée} &\ 1,4142 & 1,9571 & 1,9986 & 1,9999 & 1,9999 \\ \hline \end{array}\]
      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \(\left(u_{n}\right)\) ?
    6. L’algorithme nous donne la \(n\)-ième valeur de la suite \((u_n)\).
      Il semblerait que la suite \((u_n)\) soit positive,croissante et tende vers \(2\). \(\quad\)

       

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2\).
    2. Montrons ce résultat par récurrence.
      • Initialisation : \(u_0 = 1\) : la propriété est vraie au rang \(0\).
      • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(0<u_n \le 2\).
        Alors \(0 < 2u_n \le 4\) et donc \(0 < \sqrt{2u_n} \le 2\) (car la fonction racine carrée est croissante).
        La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
      • Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\). En la supposant vraie au rang \(n\), elle est encore vraie au rang suivant.
        Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) : \(0 < u_n \le 2\).
        \(\quad\)
    3. Déterminer le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
    4. \(u_{n+1}- u_n = \sqrt{2u_n} – u_n = \sqrt{u_n} \left( \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \right)\)
      Or \(\sqrt{u_n} > 0 \) et on sait que \(0 < u_n \le 2\) par conséquent \(0 < \sqrt{u_n} \le \sqrt{2}\) d'après la stricte croissance de la fonction racine carrée sur \([0;+\infty[\).
      \(\left.\begin{array}{l} \sqrt{u_n} > 0 \\ \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \geq  0\end{array}\right\}\) par produit on obtient: \( \sqrt{u_n} \left( \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \right) \geq  0\)
      Finalement \(u_{n+1} – u_n \ge 0\) et la suite \((u_n)\) est croissante.
      \(\quad\)
    5. Démontrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
    6. La suite \((u_n)\) est croissante et majorée. Elle converge donc.
  • On considère la suite \(\left(v_{n}\right)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2\).
    1. Démontrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est la suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(v_{0} = - \ln 2\).
    2. \(v_{n+1} = \text{ln } u_{n+1} – \text{ln } 2\) \(= \text{ln } \sqrt{2u_n} - \text{ln } 2 \) \(=\dfrac{1}{2} \text{ln } 2u_n - \text{ln } 2 \) \(=\dfrac{1}{2} \left(\text{ln } 2 + \text{ln } u_n \right) - \text{ln } 2 \) \(= \dfrac{1}{2} \text{ln } u_n – \dfrac{1}{2} \text{ln } 2\) \(=\dfrac{1}{2} v_n\).
      La suite \((v_n)\) est donc gémétrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
      Son premier terme est \(v_0 = \text{ln } u_0 - \text{ln } 2 = -\text{ln } 2\).
      \(\quad\)
    3. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), l'expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\), puis de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
    4. Par conséquent \(v_n = \left( \text{ln } 2 \right) \times \left( \dfrac{1}{2} \right) ^n\).
      On sait que \(v_n = \text{ln } u_n - \text{ln } 2\) donc \(\text{ln } u_n = v_n + \text{ln } 2\)
      D’où \(u_n = \text{exp} \left( v_n + \text{ln } 2 \right)\) \(=\text{exp}(v_n) \times 2\).
      Par conséquent \(u_n = 2\text{exp}\left(-(\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)\).
      \(\quad\)
    5. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
    6. Comme \(-1< \dfrac{1}{2} <1\) on déduit \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = 0\)
      donc \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~(-\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n =0\\ \lim\limits_{t \to 0}~e^t=1 \end{array}\right\}\) par composée on obtient: \(\lim\limits_{n \to +\infty}\text{exp}\left( (-\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right) =\text{exp}(0)=1\)
      Or \(u_n = 2\text{exp}\left(-(\text{ln } 2) \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)\) ainsi \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 2\)
      \(\quad\)
    7. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_{n} > 1,999\). \[ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} & n \text{ est un entier naturel}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Initialisation :}&\text{ Affecter à } \, n \text{ la valeur } 0 \\ &\text{Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement : }&\\ &\\ \text{Sortie : } &\\ \hline \end{array}\]
  • Variables : \(n\) est un entier naturel
    \(u\) est un réel
    Initialisation : Affecter à \(n\) la valeur \(0\)
    Affecter à \(u\) la valeur \(1\)
    Traitement : Tant que \(u \le 1,999\)
    \(u\) prend la valeur
    \(n\) prend la valeur \(n + 1\)
    Fin Tant que
    Sortie : Afficher \(n\)

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