Bac S 2013 Amérique du Nord Géométrie dans l'espace

oui
non
S
Année 2013
Amérique du Nord
Géométrie

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C\((2 ; -1 ; - 2)\) et D \((7 ; - 1 ; 4)\).

  1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
  2. Soit \(\Delta\) la droite passant par le point D et de vecteur directeur \(\vec{u}(2 ; - 1 ; 3)\).
    1. Démontrer que la droite \(\Delta\) est orthogonale au plan (ABC).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).
    4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \(\Delta\) et du plan (ABC).
  3. Soit \(\mathcal{P}_{1}\) le plan d'équation \(x + y + z = 0\) et \(\mathcal{P}_{2}\) le plan d'équation \(x + 4y + 2 = 0\).
    1. Démontrer que les plans \(\mathcal{P}_{1}\) et \(\mathcal{P}_{2}\) sont sécants.
    2. Vérifier que la droite \(d\), intersection des plans \(\mathcal{P}_{1}\) et \(\mathcal{P}_{2}\), a pour représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-4t-2\\ y &=&t\\ z &=& 3t + 2 \end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}\).
    3. La droite \(d\) et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
 
 

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