Bac S 2013 Métropole Spécialité

oui
S
Année 2013
Métropole Juin
Spécialité
Calcul matriciel

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1 er  janvier 2013, cette région comptait   250000  habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l'effectif de la population est globalement constant,
  • chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.


Pour tout entier naturel \(n\), on note \(v_{n}\) le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 er  janvier de l'année \((2013 + n)\) et \(c_{n}\) le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

  1. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_{n+1}\) et \(c_{n+1}\) en fonction de \(v_{n}\) et \(c_{n}\).
  2. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}\).
    On pose \(X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) où \(a,\: b\) sont deux réels fixés et \(Y = AX\). Déterminer, en fonction de \(a\) et \(b\), les réels \(c\) et \(d\) tels que \(Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\).
  3. Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel \(n\),
    \(X_{n+1} = AX_{n}\) où \(X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}\). On peut donc en déduire que pour tout entier naturel \(n,\: X_{n} = A^n X_{0}\).

  4. Soient les matrices \(P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}\) et \(Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\).
    1. Calculer \(PQ\) et \(QP\). En déduire la matrice \(P^{-1}\) en fonction de \(Q\).
    2. Vérifier que la matrice \(P^{-1}AP\) est une matrice diagonale \(D\) que l'on précisera.
    3. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\), \(A^n = P D^n P^{- 1}\).
  5. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que \[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\]
    Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
 
 

Correction de l'exercice de Spécialité (5 points)


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1 er  janvier 2013, cette région comptait 250000 ~habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville. L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l'effectif de la population est globalement constant,
  • chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(v_{n}\) le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 er janvier de l'année \((2013 + n)\) et \(c_{n}\) le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

  1. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_{n+1}\) et \(c_{n+1}\) en fonction de \(v_{n}\) et \(c_{n}\).
    Chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
    Donc pour tout entier naturel \(n\), \(\left \{ \begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & 95\%v_n+1\%c_n \\ c_{n+1} & = & 5\%v_n+99\%c_n \end{array} \right.\)
    Ainsi \(\left \{\begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & 0,95v_n+0,01c_n \\ c_{n+1} & = & 0,05v_n+0,99 c_n \end{array} \right.\)
    \(\begin{pmatrix}v_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95v_n+0,01c_n\\0,05v_n+0,99 c_n \end{pmatrix}\)
  2. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}\). On pose \(X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) où \(a,\: b\) sont deux réels fixés et \(Y = AX\).
    Déterminer, en fonction de \(a\) et \(b\), les réels \(c\) et \(d\) tels que \(Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\).
    Comme \(A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}\) on a \(Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=AX=\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95a+0,01b\\0,05a+0,99b\end{pmatrix}\). \(\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95a+0,01b\\0,05a+0,99b\end{pmatrix}\)
    Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel \(n\), \(X_{n+1} = AX_{n}\) où \(X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}\). On peut donc en déduire que pour tout entier naturel \(n,\: X_{n} = A^n X_{0}\).
  3. Soient les matrices \(P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}\) et \(Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\).
    1. Calculer \(PQ\) et \(QP\). En déduire la matrice \(P^{-1}\) en fonction de \(Q\). \\ \(P\times Q= \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6 Id_2\) \(Q \times P = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6 Id_2\), donc \(P\) est inversible et
      \(P^{- 1}=\dfrac{1}{6}Q=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\).
    2. Vérifier que la matrice \(P^{-1}AP\) est une matrice diagonale \(D\) que l'on précisera.
      \[P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \underbrace{ \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix} \]\[P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}1&-4,7\\1&0,94\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix} \]\[P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,94\end{pmatrix} \]
      On a donc \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,94\end{pmatrix}=D \)
    3. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\), \(A^n = P D^n P^{- 1}\).
      Montrons par récurrence sur \(n\) que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(A^n = P \times D^n \times P^{- 1} \)
      • Initialisation : \(D=P^{- 1}\times A\times P\) (question précédente). d'où en multipliant à gauche par \(P\) et à droite par \(P^{- 1}\) , il vient :
        \(P \times D^1 \times P^{- 1}=P\times P^{- 1}\times A\times P\times P^{- 1} \) et donc n a bien \(A^1 = P \times D^1 \times P^{- 1}\)
      • Hérédité : Supposons qu'il existe \(k \geq 1\) tel que \(A^k = P \times D^k \times P^{- 1}\). Alors \(A^{k+1} = A^k \times A = \left(P \times D^k \times P^{- 1} \right) \times \left(P \times D \times P^{- 1} \right) =P \times D^k \times \left(P^{- 1} \times P \right) \times D \times P^{- 1} =\) \( P \times D^k \times I \times D \times P^{- 1} = P \times \left(D^k \times D \right)\times P^{- 1} =P \times D^{k+1}\times P^{- 1}\). La formule est donc vraie au rang \(k + 1\). On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(A^n = P \times D^n \times P^{- 1}\).
  4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que \[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\]Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
    Si \(-1<q<1\) alors :\(\lim\limits_{n \to +\infty}q^n=0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}0,94^n=0\)
    \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0}= \dfrac{1}{6}v_0\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}=\dfrac{1}{6}c_0 \end{array}\right\}\) par somme on obtient: \(\lim\limits_{n \to +\infty}~v_{n}= \dfrac{1}{6}v_0+ \dfrac{1}{6}c_0=\dfrac{1}{6}\left (v_0+c_0\right )=\dfrac{250\;000}{6}\approx 41 667\)
    La population en ville sera, au bout d'un grand nombre d'années de 41 667 habitants, soit environ \(\dfrac{1}{6}\) de la population totale .

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