Bac S 2013 Métropole Fonction ln et calcul intégral

oui
S
Année 2013
Métropole Juin
Calcul intégral,Fonction ln

Exercice 2 7 points

Commun à tous les candidats


Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)\), la courbe représentative \(\mathcal{C}\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \(] 0 ; + \infty[\).
France Metropole 2013 Ex2
On dispose des informations suivantes :

  • les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2);
  • la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point B et la droite (BC) est tangente à \(\mathcal{C}\) en B;
  • il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel strictement positif \(x\),

\[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}. \]

    1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de \(f(1)\) et \(f'(1)\).
    2. Vérifier que pour tout réel strictement positif \(x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}\).
    3. En déduire les réels \(a\) et \(b\).
    1. Justifier que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0\,, +\infty[,\: f'(x)\) a le même signe que \(- \ln x\).
    2. Déterminer les limites de \(f\) en 0 et en \(+ \infty\). On pourra remarquer que pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}\).
    3. En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\).
    1. Démontrer que l'équation \(f(x) = 1\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l'intervalle \(]0\,, 1]\).
    2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel \(\beta\) de l'intervalle \(]1\,, + \infty]\) tel que \(f(\beta) = 1\). Déterminer l'entier \(n\) tel que \(n < \beta < n + 1\).
  1. On donne l'algorithme ci-dessous.
    \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables : }& a, b \text{ et } m \text{ sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } a \text{ la valeur 0. } \\ & \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 1. }\\ \text{Traitement :}& \text{ Tant que } b - a > 0,1\\ &\begin{array}{l|l} &\text{ Affecter à } m \text{ la valeur } \dfrac{1}{2}(a + b).\\ & \text{ Si } f(m) < 1 \text{ alors Affecter à } a \text{ la valeur } m.\\ & \text{Sinon Affecter à } b \text{ la valeur } m.\\ &F \text{ Fin de Si.}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } a.\\ & \text{ Afficher } b.\\ \hline \end{array} \]
    1. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
      \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{étape 1 }&\text{étape 2 }&\text{étape 3 }&\text{étape 4 }&\text{étape 5 }\\ \hline a&0&&&&\\ \hline b&1&&&&\\ \hline b - a&&&&&\\ \hline m&&&&&\\ \hline \end{array}\]
    2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
    3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de \(\beta\) d'amplitude \(10^{-1}\).
  2. Le but de cette question est de démontrer que la courbe \(\mathcal{C}\) partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
    1. Justifier que cela revient à démontrer que \(\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1\).
    2. En remarquant que l'expression de \(f(x)\) peut s'écrire \(\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x\), terminer la démonstration.
 
 

Correction de l'exercice 2 (7 points)


Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé , dans le plan muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)\), la courbe représentative \( \mathcal{C}\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \(]0;+\infty[\).
On dispose des informations suivantes:

  • Les points \(A, B, C\) ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2);
  • la courbe \( \mathcal{C}\) passe par le point \(B\) et la droite \((BC)\) est tangente à \( \mathcal{C}\) en \(B\);

  • il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel strictement positif \(x\), \(f(x)=\dfrac{a+b\ln x }{x}\)
    1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de \(f(1)\) et \(f'(1)\).
      Le point \(B(1,2)\) est un point de \( \mathcal{C}\), donc \(f(1)=2\)
      La tangente à \( \mathcal{C}\) au point \(B\) d'abscisse 1 est horizontale , donc \(f'(1)=0\).
      \(f(1)=2\) et \(f'(1)=0\).
    2. Vérifier que pour tout réel strictement positif \(x, f'(x)=\dfrac{(b-a)-b\ln x }{x^2} \)
      \(f=\dfrac{u}{v}\), donc \(f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\)
      ici \(u(x)=a+b\ln x\) et \(v(x)=x\)
      on a donc \(u'(x)=\dfrac{b}{x}\) et \(v'(x)=1\)
      puis \(f'(x)=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x -1\times \left (a+b\ln x\right )}{x^2}=\dfrac{b-a-b\ln x }{x^2} \)
      \(f'(x)=\dfrac{(b-a)-b\ln x }{x^2} \).
    3. En déduire les réels \(a\) et \(b\).
      \(f(1)=2 \) donc \(\dfrac{a+b \ln 1}{1}=2\) donc \( a=2\), en effet \(\ln 1=0\).
      \(f'(1)=0\) donc \( \dfrac{(b-a)-b\ln 1 }{1^2}=0 \) donc \( b-a=0 \) donc \( b=a=2\)
      \(a=2\) et \(b=2\) ainsi \(f(x)=\dfrac{2+2\ln x }{x}\)
    1. Justifier que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0;+\infty[\) , \(f'(x)\) a le même signe que \(-\ln x \).
      D'après la question 1. \(f'(x)=\dfrac{(b-a)-b\ln x }{x^2} =\dfrac{-2 \ln x }{x^2}\), on a remplacé \(a\) et \(b\) par 2.
      Comme on travaille sur \(]0;+\infty[\), on a \(x^2>0\) et 2>0 ,
      donc \(f'(x)\) a le signe de \(-\ln x\).
    2. Déterminer les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
      On pourra remarquer que pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f(x)=\dfrac{2}{x} +\dfrac{2\ln x}{x}\)
      • Limite en \(0^+\) : sur \(]0;+\infty[;f(x)=\dfrac{2+2\ln x }{x}=\left (2+2\ln x\right )\times \dfrac{ 1}{x}\)
        \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+} (2+2\ln x)=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}=+\infty \end{array}\right\}\) par produit on obtient: \(\lim\limits_{x \to 0^+}~f(x)=-\infty\)
      • Limite en \(+\infty\) : sur \(]0;+\infty[;f(x)=\dfrac{2+2\ln x }{x}=\dfrac{2}{x} +\dfrac{2\ln x}{x}\)
        \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{2}{x}=0\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{2\ln x}{x}=0 \end{array}\right\}\) par somme on obtient: \(\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=0\)
        On a utilisé la limite de référence :\(\lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{ \ln x}{x}=0\)
        \(\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=0\)
    3. En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\). On sait que la dérivée a le signe de \(-\ln x \) sur \(]0;+\infty[\).
      \(f'(x)>0 \Leftrightarrow -\ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x < 0 \Leftrightarrow0< x<1.\)
      \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1.\)

      Metropole 2013 Bac S 19-Juin 2013 tab var
    1. Démontrer que l'équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l'intervalle \(]0,1]\).
      \(\left.\begin{array}{ll} &\bullet \quad f \text{ est continue sur } I=]0;1] \text{ (elle est dérivable sur )} I ;\\ &\bullet \quad f \text{ est strictement croissante sur } I ;\\ &\bullet \quad f(1)=2 ;\\ &\bullet \quad \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty.\\\end{array}\right\}\) . Comme \(1 \in ]-\infty;2]\) l'équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(I\)
      Ainsi l'équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(I\)
    2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel \(\beta\) de l'intervalle \(]1;+\infty[\) tel que \(f(\beta )=1\).
      Déterminer l'entier \(n\) tel que \(n< \beta<n+ 1\)
      soit \(f(5)>f(\beta)>f(6)\)
      comme \(f\) est strictement décroissante sur \([1;+\infty[\); on déduit \(5<\beta< 6\)
      \(5<\beta< 6\)
  1. On donne l'algorithme ci-dessous.
    \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables : }& a, b \text{ et } m \text{ sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } a \text{ la valeur 0. } \\ & \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 1. }\\ \text{Traitement :}& \text{ Tant que } b - a > 0,1\\ &\begin{array}{l|l} &\text{ Affecter à } m \text{ la valeur } \dfrac{1}{2}(a + b).\\ & \text{ Si } f(m) < 1 \text{ alors Affecter à } a \text{ la valeur } m.\\ & \text{Sinon Affecter à } b \text{ la valeur } m.\\ &F \text{ Fin de Si.}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } a.\\ & \text{ Afficher } b.\\ \hline \end{array} \]
    1. Faire tourner l'algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
      \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &\text{ étape 1 } & \text{ étape 2 } &\text{ étape 3 } &\text{ étape 4 } & \text{ étape 5 } \\ \hline a & 0 & 0 & 0,25 & 0,375 & 0,4375 \\ \hline b & 1 & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5 \\ \hline b-a & 1 & 0,5 & 0,25 &0,125 & 0,0625\\ \hline m & 0,5 & 0,25 & 0,375 & 0,4375 & \text{ L'algorithme s'arrête car la condition } b-a\leq 0,1 \text{est réalisée }\\ \hline \end{array}\]
    2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme?
      Cet algorithme fournit un encadrement à 0,1 près de l'unique solution \(\alpha\) de l'équation \(f(x)=1\) se trouvant dans l'intervalle \(]0,1]\). La méthode utilisée est la dichotomie.
    3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de \(\beta\) d'amplitude \(10^{-1}\).
      \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables : }& a, b \text{ et } m \text{ sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } a \text{ la valeur 5. } \\ & \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 6. }\\ \text{Traitement :}& \text{ Tant que } b - a > 0,1\\ &\begin{array}{l|l} &\text{ Affecter à } m \text{ la valeur } \dfrac{1}{2}(a + b).\\ & \text{ Si } f(m) < 1 \text{ alors Affecter à } a \text{ la valeur } m.\\ & \text{Sinon Affecter à } b \text{ la valeur } m.\\ &F \text{ Fin de Si.}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } a.\\ & \text{ Afficher } b.\\ \hline \end{array} \]
  2. Le but de cette question est de démontrer que la courbe \( \mathcal{C}\) partage le rectangle \(OABC\) en deux domaines d'aires égales.
    1. Justifier que cela revient à démontrer que \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx=1\).
      Le rectangle \(OABC\) a pour aire \(\mathcal{A}=OA \times BC =2 (u.a.)\)
      On résout l'équation \(f(x)=0\) sur \(]0;+\infty[\)
      \(f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2+2\ln x }{x} \Leftrightarrow 2+2\ln x =0 \Leftrightarrow \ln x =-1 \Leftrightarrow x=e^{-1} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}\).
      La courbe \( \mathcal{C}\) rencontre l'axe des abscisses au point d'abscisse \(x=\dfrac{1}{e}\).
      On doit donc montrer que l'aire du domaine délimité par la courbe \( \mathcal{C}\) , l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=\dfrac{1}{e}\) et \(x=1\) vaut \(1 u.a.\).
      Comme \(f\) est continue, positive sur \(\left [\dfrac{1}{e};1\right ]\), en effet :
      si \(x\geq \dfrac{1}{e}\) alors \(\ln x\geq \ln\left (\dfrac{1}{e}\right )\)
      soit \(1+\ln x\geq 0\) puis en multipliant par \(\dfrac{2}{x}>0\) sur \(]0;++\infty[\), on obtient \(f(x)\geq 0\),
      cette aire vaut \(\mathcal{B}= \int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx\).
      On doit donc établir \(\mathcal{B}=1\) soit \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx=1\).
    2. En remarquant que l'expression de \(f(x)\) peut s'écrire \(\dfrac{2}{x} +2\times \dfrac{1}{x}\times \ln x \), terminer la démonstration.
      \(f(x)=\dfrac{2}{x} +2\times \dfrac{1}{x}\times \ln x =2\times \dfrac{1}{x}+2 u'(x)\times u(x)\) où \(u(x)=\ln x\) .
      On note \(F\) une primitive de \(f\) sur \(]0;+\infty[\).
      \(F(x)=2\ln x +\left (\ln x \right )^2\). On a utilisé le fait que \(u'u^n\) a pour primitive \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) pour \(n\neq -1\).
      \[\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx=F(1)-F\left (\dfrac{1}{e}\right )=2\ln 1 +\left (\ln 1 \right )^2 -\left (2\ln\left (\dfrac{1}{e}\right )+\left (\ln \left (\dfrac{1}{e}\right )\right )^2\right ) =0-(-2+1)=1\]En effet \(\ln\left (\dfrac{1}{e}\right )=-\ln e=-1\)

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