Bac S 2013 Métropole Probabilités

oui
S
Année 2013
Métropole Juin
Probabilités
Probabilités conditionnelles,Loi binomiale

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur H\(_{1}\), 25 % de l'horticulteur H\(_{2}\) et le reste de l'horticulteur H\(_{3}\). Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur H\(_{1}\) comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur H\(_{2}\) n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur H\(_{3}\) seulement 30 %.

  1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
    On envisage les événements suivants :
    • \(H_{1}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{1}\) »,
    • \(H_{2}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{2}\) »,
    • \(H_{3}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{3}\) »,
    • \(C\)  : «l'arbre choisi est un conifère »,
    • \(F\)  : «l'arbre choisi est un arbre feuillu ».

    1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
    2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H\(_{3}\).
    3. Justifier que la probabilité de l'évènement \(C\) est égale à \(0,525\).
    4. L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H\(_1\) ? On arrondira à \(10^{-3}\).
  2. On choisit au hasard un échantillon de \(10\) arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de \(10\) arbres dans le stock. On appelle \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
    1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement \(5\) conifères?
      On arrondira à \(10^{-3}\).
    3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à \(10^{-3}\).

 

Correction de l'exercice 1 (4 points)


Commun à tous les candidats

 

    1. Un arbre pondéré représentant la situation :
      Metropole 2013 Bac S 19-Juin 2013 arb
    2. On veut calculer \(p\left (H_3\cap C\right )=p\left (H_3 \right )\times p_{H_3}\left (C\right )=0,40\times 0,50=0,20\)
      \(p\left (H_3\cap C\right )=0,20\)
    3. Calculons la probabilité de l'événement \(C\).
      \(C=\left (H_1\cap C \right )\cup \left (H_2\cap C \right )\left (H_3\cap C \right )\).
      La formule des probabilités totales donne
      \[p\left (H_1\cap C \right )+p \left (H_2\cap C \right )+p\left (H_3\cap C \right )=p(H_1)\times p_{H_1}(C)+p(H_2) \times p_{H_2}(C)+p(H_3)\times p_{H_3}(C)\]
      soit \(p(C)= 0,35\times 0,80+ 0,25\times 0,50+ 0,40\times 0,30=0,525\)
      \(p(C)=0,525\)
    4. On veut calculer la probabilité de l'événement &\laquo;  L'arbre a été acheté chez \(H_1\) sachant que c'est un conifère&\raquo; .
      soit à calculer la probabilité conditionnelle \(p_{C}\left (H_1\right )=\dfrac{p\left (H_1\cap C\right )}{p(C)}=\dfrac{0,35\times 0,80}{0,525}\)

      \(p_{C}\left (H_1\right )\approx 0,533\)
    1. On est en présence d'un schéma de Bernoulli: Succès : &\laquo;  l'arbre choisi au hasard est un conifère &\raquo;  avec la probabilité \(p=0,525 \)
      Echec : &\laquo;  l'arbre choisi au hasard est un arbre à feuilles&\raquo;  avec la probabilité \(q=1-p= 0,475\)
      On répète 10 fois cette expérience de façon indépendante et on considère la variable aléatoire \(X\) qui comptabilise le nombre de succès .
      \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}\left (10;0,525\right )\) de paramètres \(n=10\) et \(p=0,525\)
    2. Calculons la probabilité que l'échantillon prélevé contienne exactement 5 conifères et donnons-en une valeur approchée à \(10^{-3}\), près.
      Pour tout entier \(k \in[0;10]\); on a : \[p(X=k)=\binom{10}{k}\times 0,525^k\times0,475^{10-k}.\]On veut \(p(X=5) \binom{10}{5}\times 0,525^5\times0,475^5.\)
      \(p(X=5)\approx 0,243\)

    3. Calculons la probabilité que l'échantillon prélevé contienne au moins deux arbres feuillus et donnons-en une valeur approchée à \(10^{-3}\), près.
      On veut calculer ici la probabilité de l'événement \(X\leq 8\)
      \(p(X \leq 8)=1-p(X>8)=1-p(X=9)-p(X=10)=1-\binom{10}{9}\times 0,525^9\times0,475^1-\binom{10}{10}\times 0,525^10 \approx 0,984 \)

      La probabilité que l'échantillon prélevé contienne au moins deux arbres feuillus est environ \(0,984\) à \(10^{-3}\), près. 
      Remarque :\(P(X\leq 8)\) peut s'obtenir avec la calculatrice par :\(binomFR\text{é}p(10,0.525,8)\)
 

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