Oral Bac STI2D

Oral 1 STI2D

Une étude de fonction ln



Exercice

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0 +\infty[\) par : \(f(x) = x - \ln x\).
\(C\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unités 2 cm.
Oral STI2D sujet 01

  1. Quelle limite de \(f\) en 0 le graphique laisse t'il prévoir ? Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?
  2. Montrer que \(f(x) = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\). Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = \dfrac{x-1}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( \dfrac{1}{2}\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
Un Calcul d'aire

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).

Correction Oral 1 STI2D

 

Exercice

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0 +\infty[\) par : \(f(x) = x - \ln x\). \(C\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unités 2 cm.

 

  1. Quelle limite de \(f\) en 0 le graphique laisse t'il prévoir ?
    A partir du graphique on conjecture :

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty\)

    Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?

    La droite d'équation \(=0\) est asymptote verticale à \(C\)

  2. Montrer que \(f(x) = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\).
    Il suffit de factoriser par \(x\) dans \(f(x)\) ou développer l' écriture \(x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\)
    Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\)
    sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\), on déduit \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}1-\dfrac{\ln x}{x}= 1\).

    \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{\ln x}{x}= 1\\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty\)
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = \dfrac{x-1}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
    On a\(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\)
    Ainsi \(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\)
    On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x>0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\)
    • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1\)

    On a bien sûr calculé \(f(1)=1-\ln 1=1\)
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( \dfrac{1}{2}\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
    La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= \dfrac{1}{2}\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= \dfrac{1}{2}\), on calcule successivement :
    • \(f\left(\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}-\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )= \dfrac{1}{2}+\ln 2\)
      On a utilisé \(
      ln\left (\dfrac{1}{a}\right )=-\ln a\)
    • \(f'\left (\dfrac{1}{2}\right )=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
    Ainsi \(T:y=\dfrac{1}{2}\left (x-\dfrac{1}{2}\right )+\dfrac{1}{2}+\ln 2\)


    \(T:y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\ln 2\)

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
    Il suffit de dériver !
    \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - x \ln x\)
    \(F=u+v\) où \(u(x)=\frac{x^2}{2} + x\) et \(v(x)=- x \ln x\)
    donc \(u'(x)=\frac{1}{2}\times 2x+1=x+1\),
    par ailleurs \(v=a.b\) où \(a(x)=-x\) et \(b(x)=\ln x\)
    on a alors \(a'(x)=-1\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)
    \(v'=a'b+b'a\), soit \(v'(x)=-1\times\ln x + \dfrac{1}{x}\times (-x)=-\ln x -1\)
    \(F'=u'+v'\), donc \(F'(x)=x+1-\ln x-1=x-\ln x\)
    On a bien montré que \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est une primitive de \(f\)
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).

    Comme la fonction \(f\) est positive sur \([1;2]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \(]0;+\infty[\) donc sur \([1;2]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_1^2f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_1^2=F(2)-F(1)\]On utilise \(F(x)=\frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) on calcule successivement :
    • \(F(1)=\frac{1^2}{2} + 1 - 1 \ln 1=\frac{3}{2}\)
    • \(F(2)=\frac{2^2}{2} +2 - 2 \ln 2=4 - 2 \ln 2\)
    • \(F(2)-F(1)=4 - 2 \ln 2-\frac{3}{2}=- 2 \ln 2+\frac{5}{2}\)
    L'unité d'aire vaut \(2cm \times 2cm=4cm^2\), donc \(A=4\left (\frac{5}{2}-2\ln2 \right )cm^2\)

    \(A=10-8\ln2 \;cm^2\approx 4,45\;cm^2 \)

Oral 2 STI2D

Une fonction exponentielle
Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 




Exercice
 A. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) , ainsi que les tracés de son asymptote \(D\) et d'une tangente \(T \)(unités : 2 cm sur \((Ox)\) et 1 cm sur \((Oy)\) ).
Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique

  1. Quelle est l'équation de la tangente \(T\) au point \(A\) d'abscisse 0 ?
  2. Quelle limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\) le graphique laisse t'il prévoir ?
  3. Donner des encadrements par deux entiers consécutifs des solutions de l'équation \(f(x)=0\) .

B. La fonction \(f\) est définie sur par \(f(x) = 2e^x -3x- 4\).

  1. Quelle est la dérivée de \(f\) ?
  2. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) ?
  3. Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Démontrer que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) .

C. Calcul d'aire

  1. Calculer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x = -1\) et \(x = -1\).

 

Correction Oral 2 STI2D

Exercice

A. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) , ainsi que les tracés de son asymptote \(D\) et d'une tangente \(T \)(unités : 2 cm sur \((Ox)\) et 1 cm sur \((Oy)\) ).


 Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique

  1. Quelle est l'équation de la tangente \(T\) au point \(A\) d'abscisse 0 ?
    La tangente \(T\) passe par \(A(0;-2)\) et a pour coefficient directeur \(-\dfrac{1}{2}\) ( Lecture graphique )


    Ainsi \(T:y=-\dfrac{1}{2}x-2\)

  2. Quelle limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\) le graphique laisse t'il prévoir ?
    On conjecture \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty\)
  3. Donner des encadrements par deux entiers consécutifs des solutions de l'équation \(f(x)=0\) .
    L'équation \(f(x)=0\) a deux solutions \(\alpha \) et \(\beta\) où \(-2 < \alpha < -1\) et \(1 < \beta < 2\)

B. La fonction \(f\) est définie sur par \(f(x) = 2e^x -3x- 4\).

  1. Quelle est la dérivée de \(f\) ?
    On a \(f'x)=2e^x-3\)
  2. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) ?
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 2e^x -3=0 \Leftrightarrow 2e^x =3 \Leftrightarrow e^x =\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \ln (e^x)=\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\Leftrightarrow x=\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
    • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow2e^x -3>0 \Leftrightarrow 2e^x >3 \Leftrightarrow e^x >\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \ln (e^x)>\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\Leftrightarrow x>\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
    On a ici utilisé le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
  3. Dresser le tableau de variation de \(f\).

    On a bien sûr calculé \(f\left (\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\right )=2e^{\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )}-3\times \ln\left (\dfrac{3}{2}\right )-4=2\times \dfrac{3}{2}-3\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )-4=-1-3\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
  4. Démontrer que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) .
    On forme \(f(x)-(-3x-4)=2e^x\)
    or \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0\), donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}2e^x=0\)
    On a donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [f(x)-(-3x-4)\right ]=0\).

    ce qui prouve que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) au voisinage de \(-\infty\).

C. Calcul d'aire

  1. Calculer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
    \(f(x) = 2e^x -3x- 4\), d'où on déduit \(F(x)=2e^x-3\dfrac{x^2}{2}-4x\)
    La primitive d'une somme est égale à la somme des primitives.
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x = -1\) et \(x = -1\).
    Comme la fonction \(f\) est négative sur \([-1;1]\), sa courbe est située en-dessus de \((Ox)\) sur \(]\alpha;\beta[\) donc sur \([-1;1]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_{-1}^1 -f(x)\;dx u.a.=\left [-F(x)\right ]_{-1}^1=-F(1)+F(-1)\]On utilise \(F(x)=2e^x-3\dfrac{x^2}{2}-4x\) on calcule successivement :
    • \(F(1)=2e^1-3\dfrac{1^2}{2}-4=2e-\dfrac{11}{2}\)
    • \(F(-1)=2e^{-1}-3\dfrac{1}{2}+4=2e^{-1}+\dfrac{5}{2}\)
    • \(F(-1)-F(1)=8+2e^{-1}-2e\)
    L'unité d'aire vaut \(2cm \times 1cm=2cm^2\), donc \(A=2\left (8+2e^{-1}-2e \right )cm^2\)

    \(A=16+4e^{-1}-4e\;cm^2\approx 6,60\;cm^2 \)

 

ORAL 3 STI2D



Exercice

 

Question 1

Le nombre complexe \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement :

  1. 6 et \(\frac{5\pi}{6}\)
  2. 6 et \(\frac{\pi}{6}\)
  3. 6 et \(-\frac{\pi}{6}\)
  4. 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)
Question 2

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\)
On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?

  1. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
  2. la rotation de centre O et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\).
  3. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{4}\).
Question 3

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\) Le point K d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O a pour affixe le nombre complexe :

  1. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  2. \(z_{\text{K}}=6 e^{-4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  3. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{6}}\)
Question 4

On considère dans \(\mathbb{C}\) l'équation d'inconnue \(z^2 + 6z\sqrt{3}+36 = 0\).

  1. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3 \text{i} \) et \(-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)
  2. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3\) et \(-3\sqrt{3}-3\)
  3. L'équation n'a pas de solution.

 

 Oral 3 STI2D

Exercice

Question 1

Le nombre complexe \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement :

  1. 6 et \(\frac{5\pi}{6}\)
  2. 6 et \(\frac{\pi}{6}\)
  3. 6 et \(-\frac{\pi}{6}\)
  4. 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)

On calcule son module \(\left |z_{B}\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left (-3\sqrt{3} \right )^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6\)
On détermine un argument en calculant :
\(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{a}{r}=\dfrac{-3\sqrt{3}}{6} =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin\theta& = & \dfrac{b}{r}=\dfrac{-3}{6} =-\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\)
Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=\frac{7\pi}{6}\)

Le nombre complexe \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement : 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)

Question 2

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\)
On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?

  1. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
  2. la rotation de centre O et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\).
  3. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{4}\).



Avec la figure, on affirme que K est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).

Question 3

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\)
Le point K d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O a pour affixe le nombre complexe :

  1. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  2. \(z_{\text{K}}=6 e^{-4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  3. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{6}}\)

On peut affirmer que \(K\) est l'image de \(A\) dans la rotation \(r\) de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\)..
Cette rotation a pour écriture complexe : \(z'=e^{i \frac{\pi}{2}}z\) .
On a vu au a) que \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement : 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)
Donc \(z_B=6e^{i \frac{7\pi}{6}}\), comme \(z_A=\bar{z_B}\) ,on déduit \(z_A=6e^{-i \frac{7\pi}{6}}=6e^{i \frac{5\pi}{6}}\)
\(r(A)=K\) donc \(z_K=e^{i \frac{\pi}{2}}z_A=e^{i \frac{\pi}{2}}\times =6e^{i \frac{5\pi}{6}} =6e^{i \frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}}=6e^{i \frac{8\pi}{6}}=6e^{i \frac{4\pi}{3}}\)

Le point K a pour affixe le nombre complexe :\(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)

Question 4

On considère dans \(\mathbb{C}\) l'équation d'inconnue \(z^2 + 6z\sqrt{3}+36 = 0\).

  1. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3 \text{i} \) et \(-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)
  2. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3\) et \(-3\sqrt{3}-3\)
  3. L'équation n'a pas de solution.

On calcule \(\Delta =b^2-4ac=\left (6\sqrt 3\right )^2-4\times 1\times 36=-36\)
Comme \(\Delta < 0\), l'équation a deux racines complexes conjuguées:
\(z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-6\sqrt 3+6i}{2}=-3\sqrt{3}+3 \text{i}\) et \(z_2=\bar{z_1}=-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)

Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3 \text{i} \) et \(-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)

 

CORRECTION ORAL 4 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 

Fonction ln



Exercice
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0 ;+\infty [\) par \(g(x)=-2x^2-1+\ln x\) .

  1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [\) . Étudier son signe sur \(]0 ;+\infty [\).
  2. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(]0 ;+\infty [\) .
  3. En déduire que pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [ , g(x) < 0\).
Probabilités LOI NORMALE



Exercice

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale d'espérance \(100\) et d'écart type \(0,43\).

fin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a& p\left( X \leqslant a \right) & &a&p\left( X \leqslant a \right)& &a&p\left( X \leqslant a \right)\\ \hline 98 &0,00000165 &&99,5 &0,12245722 &&101 &0,98997955 \\ \hline 98,5 &0,00024299 &&100 &0,50000000 &&101,5 &0,99975701 \\ \hline 99 &0,01002045 &&100,5 &0,87754278 &&102 &0,99999835 \\ \hline \end{array}\]

Les résultats seront donnés à \(10^{- 2}\) près. Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.

  1. Déterminer la probabilité de l'évènement « \(X > 99\) ».
  2. Déterminer la probabilité de l'évènement « \(99 \leqslant X \leqslant 101\) ».
  3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
  4. Correction Oral 4 STI2D

    Exercice

    On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0 ;+\infty [\) par \(g(x)=-2x^2-1+\ln x\) .
    1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [\) . Étudier son signe sur \(]0 ;+\infty [\).
      On obtient \(g'(x)=-2\times 2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}-4x=\dfrac{1-4x^2}{x}=\dfrac{(1-2x)(1+2x)}{x}\)

      \(g'(x)=\dfrac{(1-2x)(1+2x)}{x}\)

      Signe de la dérivée :
      On travaille sur \(]0;+\infty[\), donc \(x>0\) de m\^eme, on a \(1+2x>0\), donc \(g'(x)\) a le signe de \(1-2x\)
      • \(g'(x)=0 \Leftrightarrow 1-2x=0 \Leftrightarrow -2x = -1 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
      • \(g'(x)>0 \Leftrightarrow 1-2x>0 \Leftrightarrow -2x > -1 \Leftrightarrow x< \dfrac{1}{2}\)

        En divisant par -2 < 0 , pensez à changer le sens de l'inégalité !


    2. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(]0 ;+\infty [\) .

      On a bien sûr calculé \(g\left (\frac{1}{2}\right )=-2\times \left (\dfrac{1}{2}\right )^2-1+\ln \left (\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2} -1-\ln 2 =-\dfrac{3}{2}-\ln 2\)
    3. En déduire que pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [ , g(x) < 0\).
      D'après l'étude de variations, la fonction \(g\) présente un maximum absolu sur \(]0;+\infty[\) en \(x==\dfrac{1}{2}\) qui vaut \(m==-\dfrac{3}{2}-\ln 2\approx -2,2\).
      Ce maximum étant strictement négatif, on a bien prouvé que \(g(x)<0\) pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [ \)
    Un dessin?

    ExerciceProbabilités

    Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée.
    La masse en gramme de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0.43.

     

    Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités.
    \[\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 98 & 0,0000165 \\ \hline 98,5 & 0,00024299 \\ \hline 99 & 0,01002045 \\ \hline \end{array}\]   \[\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 99,5 & 0,12245722 \\ \hline 100 & 0,50000000 \\ \hline 100,5 & 0,87754278 \\ \hline \end{array}\]   \[\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 101 & 0,9899755 \\ \hline 98,5 & 0,99975701 \\ \hline 99 & 0,99999835 \\ \hline \end{array} \]
    Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0.43.
    Les résultats seront donnés à \( 10^{-2}\) près. Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.
    1. Déterminer la probabilité de l'évènement «  \(X>99\) ».
      2nd   DISTR   Normalcdf( 99  , \(10 ^{99}\),100   ,0.43)EXE 
      \(Normalcdf(99,10 ^{99} ,100,0.43)\approx 0,9899\)

      Exo N1Remarque : La commande Normalcdf  pour une calculatrice de type TI83 en anglais doit être remplacée par NoormalFRép si celle-ci est en français ...
      \(P(X>99)\approx 0,99\) à \( 10^{-2}\) près.
    2. Déterminer la probabilité de l'évènement «  99\(\leq X \leq 101\)» .
      2ND   DISTR   NORMALCDF( 99  , 101,100   ,0.43)EXE 

      \(Normalcdf(99,101 ,100,0.43)\approx 0,9799\)
      Exo N2
      \(P(99\leq X \leq 101)\approx 0,98\) à \( 10^{-2}\) près.
    3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée de est comprise entre 99 grammes et 101 grammes.
      Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
      Notons \(C\) :«  Le pot est jugé conforme» \(C=99\leq X \leq 101\)
      On veut calculer \(P(\overline{C})=1-P(C)=1-P(99\leq X \leq 101)\approx 1-0,9799\approx 0,02\)
      La probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme est environ 0,02.

Oral 5 STI2D

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  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 

Nombres complexes



Exercice

  1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes \(z\) et \(z'\) : \[\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz' & = & -1 \\ z-z' & = & 2+i \end{array} \right. \]On donnera les solutions sous forme algébrique.
  2. Le plan complexe \(P\) est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique 3 cm ;
    on désigne par \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2} \).
    1. placer dans le plan les points \(A , B\) et \(C\) d'affixes respectives : \(z_A = -1 ;z_B = 2i \) et \(z_C =- 2 + i\).
    2. Calculer les modules des nombres complexes : \(z_B-z_A\) et \(z_B-z_C\).
    3. Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
Probabilités



Exercice Un client entre dans un restaurant. On considère les événements suivants: A: « le client a choisi un menu» ,
B: « le client a choisi un apéritif» .

  1. Définir par une phrase l'événement \(A\cap B\) .
  2. On admet que \(P(B) = 0,6\). Calculer \(P(\bar{B} )\).
  3. On admet de plus que \(P(A) = 0,2\) et \(P(A\cup B ) = 0,5\). Calculer alors \(P(A\cap B)\)

 

Correction Oral 5 STI2D

Exercice

  1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes \(z\) et \(z'\) :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz' & = & -1 \\ z-z' & = & 2+i \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \) \(\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz'-z+z' & = & -1 -2-i\\ z & = &z'+ 2+i \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \) \(\left \{ \begin{array}{rcl} (1+i)z' & = & -3-i\;(1)<\\ z & = &z'+ 2+i\;(2) \end{array} \right. \) \((1)\Leftrightarrow z'=\dfrac{-3-i}{1+i}=\dfrac{(-3-i)(1-i)}{1^2+1^2}=\dfrac{-3+3i-i-1}{2} =\dfrac{-4+2i}{2}=-2+i\)
    \((2)\Leftrightarrow z=z'+ 2+i=-2+i+2+i=2i\)

    \(\mathcal{S}=\{(-2+i;2i)\}\)

  2. Le plan complexe \(P\) est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique 3 cm ;
    on désigne par \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2} \).
    1. placer dans le plan les points \(A , B\) et \(C\) d'affixes respectives : \(z_A = -1 ;z_B = 2i \) et \(z_C =- 2 + i\).
    2. Calculer les modules des nombres complexes : \(z_B-z_A\) et \(z_B-z_C\).
      \(z_B-z_A=2i-(-1)=1+2i\) , puis \(\left | z_B-z_A\right |=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)
      \(z_B-z_C=2i-(-2+i)=2i+2-i=2+i\) , puis \(\left | z_B-z_C\right |=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)


      \(\left | z_B-z_A\right |=\left | z_B-z_C\right |=\sqrt {5} \)

      Donner une interprétation géométrique de ces résultats.


      On sait que \(\left | z_B-z_A\right |=AB\); ainsi \(AB=CB\) ce qui prouve que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\)

    Exercice

    Un client entre dans un restaurant. On considère les événements suivants:
    A: « le client a choisi un menu» ,
    B: « le client a choisi un apéritif» .
    1. Définir par une phrase l'événement \(A\cap B\) .
      \(A\cap B\) :« le client a choisi un menu et le client a choisi un apéritif».
      dit autrement : \(A\cap B\) :« le client a choisi un menu avec un apéritif».
    2. On admet que \(P(B) = 0,6\). Calculer \(P(\bar{B} )\).


      \(P(\bar{B} )=1-P(B)=1-0,6=0,4\)

    3. On admet de plus que \(P(A) = 0,2\) et \(P(A\cup B ) = 0,5\). Calculer alors \(P(A\cap B)\)
      \(P(A\cup )=P(A)+P(B)-P(A\cap B )\), donc \(0,5=0,2+0,6-P(A\cap B )\),

      On déduit \(P(A\cap B )=0,3\)

Oral 6 STI2D

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Nombres complexes



Exercice

  1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes \(z\) et \(z'\) : \[\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz' & = & -1 \\ z-z' & = & 2+i \end{array} \right. \]On donnera les solutions sous forme algébrique.
  2. Le plan complexe \(P\) est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique 3 cm ;
    on désigne par \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2} \).
    1. placer dans le plan les points \(A , B\) et \(C\) d'affixes respectives : \(z_A = -1 ;z_B = 2i \) et \(z_C =- 2 + i\).
    2. Calculer les modules des nombres complexes : \(z_B-z_A\) et \(z_B-z_C\).
    3. Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
Un QCM ?



Exercice
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
On considère le tableau de variations suivant d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\).
On appelle \(C_f\) sa représentation graphique dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\).

  1. La droite d'équation \(x=2\) est asymptote à la courbe \(C_f\) .
  2. La droite d'équation \(x=1\) est asymptote à la courbe \(C_f\) .
  3. La droite d'équation \(y=3\) coupe la courbe \(C_f\) exactement en deux points.
  4. La courbe de la fonction \(f\) admet une tangente verticale d'équation \(x=-3\).

 

Correction Oral 6 STI2D

Exercice

  1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes \(z\) et \(z'\) :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz' & = & -1 \\ z-z' & = & 2+i \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \) \(\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz'-z+z' & = & -1 -2-i\\ z & = &z'+ 2+i \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \) \(\left \{ \begin{array}{rcl} (1+i)z' & = & -3-i\;(1)<\\ z & = &z'+ 2+i\;(2) \end{array} \right. \) \((1)\Leftrightarrow z'=\dfrac{-3-i}{1+i}=\dfrac{(-3-i)(1-i)}{1^2+1^2}=\dfrac{-3+3i-i-1}{2} =\dfrac{-4+2i}{2}=-2+i\)
    \((2)\Leftrightarrow z=z'+ 2+i=-2+i+2+i=2i\)

    \(\mathcal{S}=\{(-2+i;2i)\}\)

  2. Le plan complexe \(P\) est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique 3 cm ;
    on désigne par \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2} \).
    1. placer dans le plan les points \(A , B\) et \(C\) d'affixes respectives : \(z_A = -1 ;z_B = 2i \) et \(z_C =- 2 + i\).
    2. Calculer les modules des nombres complexes : \(z_B-z_A\) et \(z_B-z_C\).
      \(z_B-z_A=2i-(-1)=1+2i\) , puis \(\left | z_B-z_A\right |=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)
      \(z_B-z_C=2i-(-2+i)=2i+2-i=2+i\) , puis \(\left | z_B-z_C\right |=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)


      \(\left | z_B-z_A\right |=\left | z_B-z_C\right |=\sqrt {5} \)

      Donner une interprétation géométrique de ces résultats.


      On sait que \(\left | z_B-z_A\right |=AB\); ainsi \(AB=CB\) ce qui prouve que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\)

    Exercice

    Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
    On considère le tableau de variations suivant d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\).
    On appelle \(C_f\) sa représentation graphique dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\).

    1. La droite d'équation \(x=2\) est asymptote à la courbe \(C_f\) .

    2. Faux.La droite d'équation \(x=2\) est une verticale, si cette droite était asymptote à \(C_f\), la limite de \(f\) en 2 serait infinie alors que \(f(2)=0\).
    3. La droite d'équation \(x=1\) est asymptote à la courbe \(C_f\) .

    4. Vrai. En effet la limite de \(f\) en 1 est infinie : \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=+\infty\)
    5. La droite d'équation \(y=3\) coupe la courbe \(C_f\) exactement en deux points.

    6. Faux. La droite d'équation \(y=3\) coupe la courbe \(C_f\) exactement en trois points d'abscisses respectives \(\alpha, \beta\) et \(\epsilon\) où \(0<\alpha<1\);\( 1 < \beta < 2\) et \(\epsilon > 2\).
    7. La courbe de la fonction \(f\) admet une tangente verticale d'équation \(x=-3\).

    8. Faux. En effet \(f\) est dérivable en -3, donc \(C_f\) a une tangente non verticale au point d'abscisse -3, sa pente est donnée par le nombre \(f'(-3)\).

Oral 7 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

    Un QCM : Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
  1. Cette courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y=1\).
  2. Cette courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x=-\frac{1}{2}\) .
  3. Cette courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y=-\frac{x}{2}+1\) .
  4. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)
  5. En réalité, la fonction est \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\frac{x}{2}+1+xe^{-x}\) . Soit \(C\) la courbe représentative de \(f\) et soit \(D\) la droite d'équation : \(y=\frac{x}{2}+1\) . Étudier la position de \(D\) par rapport à \(C\).



Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=2x+1-x\ln x\) .

  1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\) sur \(]0;+\infty[\) .
  2. Calculer les images exactes des réels \(\frac{1}{e} , \sqrt e , e^2\) .
  3. Vérifier que \(f(x)=x(2-\ln x)+1\) . En déduire \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\) .

 

Correction Oral 7 STI2D

Exercice

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).


      Un QCM : Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
    1. Cette courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y=1\).
    2. Faux car sinon on aurait \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=1\), on conjecture plutôt \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)!
    3. Cette courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x=-\frac{1}{2}\) .
    4. Faux,la droite d'équation \(x=-\frac{1}{2}\) est une verticale, si cette droite était asymptote à \(C_f\), la limite de \(f\) en \(-\frac{1}{2}\) serait infinie alors que \(f\left (-\frac{1}{2}\right )\approx-1,8\).
    5. Cette courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y=-\frac{x}{2}+1\) .
    6. Faux. La droite tracée sur le graphique a une pente positive! Elle a pour pente \(\frac{1}{2}\) et pour ordonnée à l'origine \(1\), la droite \(D\) la droite d'équation : \(y=\frac{x}{2}+1\) est asymptote oblique à \(C\).
    7. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)
    8. Vrai. On le conjecture à partir du graphique !En réalité, la fonction est \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\frac{x}{2}+1+xe^{-x}\) . Soit \(C\) la courbe représentative de \(f\) et soit \(D\) la droite d'équation : \(y=\frac{x}{2}+1\) . Étudier la position de \(D\) par rapport à \(C\). On étudie le signe de \(y_{C}-y_D=f(x)-\left (\frac{x}{2}+1\right )=xe^{-x}\). La fonction exponentielle étant strictement positive sur \(\mathbb{R}\), on déduit que \(y_{C}-y_D\) a le signe de \(x\). D'où le tableau de signes : Tableau
      • \(y_C-y_D=0 \Leftrightarrow x=0\) \(C\) et \(D\) ont un seul point commun \(I(0;1)\).
      • \(y_C-y_D > 0 \Leftrightarrow x > 0\) \(C\) est située au dessus de \(D\) sur \(]0;+\infty[\).
      • \(y_C-y_D < 0 \Leftrightarrow x < 0\) \(C\) est située en-dessous de \(D\) sur \(]-\infty;0[\).

    Exercice

    On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=2x+1-x\ln x\) .
    1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\) sur \(]0;+\infty[\) .
      \(f=u+v\) où \(u(x)=2x+1\) et \(v(x)=-x\ln x\)
      \(u'(x)=2\) et \(v=a\times b\) avec \(a(x)=-x\) et \(b(x)=\ln x\)
      On a alors \(a'(x)=-1\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)


      Comme \((a\times b)'=a'b+b'a\)

      \(v'(x)=-1\times \ln x +\dfrac{1}{x} \times(-x)=-\ln x -1 \)
      On a alors \(f'x)=u'(x)+v'(x)=2-1-\ln x=1-\ln x\)
      Tableau de variation ( Non demandé !)
    2. \(f\left (\frac{1}{e}\right)=2\times \frac{1}{e}\ +1-\frac{1}{e}\times \ln \left (\frac{1}{e}\right )=\frac{3}{e}+1\)
    3. on obtient \(f(\sqrt e)=\dfrac{3}{2}\sqrt e+1\)
    4. on obtient \(f(e^2)=1\)
    5. Vérifier que \(f(x)=x(2-\ln x)+1\) .
      Il suffit de développer ! \(=x(2-\ln x)+1=2x-x\ln x +1=f(x)\).
      En déduire \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\) .
      \(\left.\begin{array}{r} \text{ Limite usuelle: }\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x =+\infty \lim\limits_{x\to +\infty} ~2-\ln x=-\infty\\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit, \(\lim\limits_{x\to +\infty }~ x(2-\ln x)=+\infty\)

      \(\lim\limits_{x\to +\infty }~ f(x)=+\infty\)

Oral 8 STI2D



Exercice

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0; +\infty[\) par : \(f(x)=x^2-2\ln x\) et \(C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2cm sur \((Ox)\) et 1cm sur \((Oy)\)).

  1. Étudier la limite de \(f\) en 0. Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?
  2. Montrer que \(f(x) = x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\). Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = 2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( 2\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
  5. L'équation \(f(x)=0\) a-t-elle des solutions ?

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^3}{3} +2 x -2 x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).

 

Correction Oral 8 STI2D

Exercice

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0; +\infty[\) par : \(f(x)=x^2-2\ln x\) et \(C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2cm sur \((Ox)\) et 1cm sur \((Oy)\)).

  1. Étudier la limite de \(f\) en 0. Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?

  2. On a la \(\text{ limite usuelle: }\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x =-\infty \);
    \(\left.\begin{array}{r} \text{ Limite usuelle: }\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x =-\infty \lim\limits_{x\to 0^+} ~-2\ln x=+\infty\\ \lim\limits_{x\to 0^+}~ x =0 \end{array}\right\}\) par somme\(\lim\limits_{x\to 0^+ }~ f(x)=+\infty\)

    \(\lim\limits_{x\to 0^+ }~ f(x)=+\infty\), donc l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe \(C\)
  3. Montrer que \(f(x) = x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\).
    Il suffit de factoriser par \(x\) dans \(f(x)\) ou développer l' écriture \(x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\)
    Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
    sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\), on déduit \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}x-2\dfrac{\ln x}{x}= +\infty\).
    \(\left.\begin{array}{r} \displaystyle\lim_{x\to +\infty} x-2\dfrac{\ln x}{x}= +\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit,\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty\)
  4. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = 2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\) et en déduire son signe. Dresser le tableau de variation de \(f\).  

    On a \(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\) Ainsi \(f'(x)=2x-2\times \dfrac{1}{x}=2\dfrac{x^2-1}{x}=2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\)On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x > 0\), de la même façon de \(x>0\) on déduit \(x+ 1> 0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\)
    • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1\)

    On a bien sûr calculé \(f(1)=1-2\ln 1=1\)
  5. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( 2\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
    La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= 2\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= 2\), on calcule successivement :
    • \(f\left(2\right)=2^2-2\ln 2=4-2\ln2\)
    • \(f'\left (2\right )=4-2\times \dfrac{1}{2}=3\)
    Ainsi \(T:y=3\left (x-2\right )+4-2\ln2\)


    \(T:y=3x-2-2\ln 2\)

  6. L'équation \(f(x)=0\) a-t-elle des solutions ?
    Au vu du tableau de variations , on a montré que la fonction \(f\) présente un minimum en 1 qui vaut 1 sur \(]0,+\infty[\).
    Donc pour tout \(x\in ]0,+\infty[: f(x)\geq 1>0\).

    L'équation \(f(x)=0\) n'a pas de solution.

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^3}{3} +2 x -2 x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .

  2. Il suffit de dériver !
    \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 +2 x -2 x \ln x\)
    \(F=u+v\) où \(u(x)=\frac{x^3}{3} +2 x\) et \(v(x)=-2 x \ln x\)
    donc \(u'(x)=\frac{1}{3}\times 3x^2+2=x^2+2\),
    par ailleurs \(v=a.b\) où \(a(x)=-2x\) et \(b(x)=\ln x\)
    on a alors \(a'(x)=-2\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)
    \(v'=a'b+b'a\), soit \(v'(x)=-2\times\ln x + \dfrac{1}{x}\times (-2x)=-2\ln x -2\)
    \(F'=u'+v'\), donc \(F'(x)=x^2+2-2\ln x -2=x^2-2\ln x\)
    On a bien montré que \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est une primitive de \(f\)
  3. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).

  4. Un dessin ?

    Comme la fonction \(f\) est positive sur \([1;2]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \(]0;+\infty[\) donc sur \([1;2]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_1^2f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_1^2=F(2)-F(1)\]On utilise \(F(x)=\frac{1}{3}x^3 +2 x -2 x \ln x\) on calcule successivement :
    • \(F(1)=\frac{1^3}{3} +2-2 \ln 1=\frac{7}{3}\)
    • \(F(2)=\frac{2^3}{3} +6-4 \ln 2=\frac{20}{3} -4 \ln 2\)
    • \(F(2)-F(1)=\frac{20}{3} -4 \ln 2-\frac{7}{3}=\frac{13}{3}- 4 \ln 2\)


    \(A=\frac{13}{3}- 4 \ln 2 \;u.a.\approx 1,56\;u.a. \)

Oral 9 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 


Exercice A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E):\(y'+y=-x-1\) ; où \(y\) désigne une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\) .

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y'+y=0\) .
  2. Déterminer la solution \(h\) de cette équation différentielle \(y' + y = 0\) prenant la valeur \(\dfrac{1}{e}\) en \(x = 1\).
  3. Déterminer le nombre réel \(a\) tel que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x)=e^{-x}+ax\) soit solution de l'équation différentielle (E).
  4. Soit \(g\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(g(x)=3e^x+2x-4\) .
  5. Vérifier que \(g\) est solution de l'équation différentielle \(g'(x)-g(x)=6-2x\) .

Correction Oral 9 STI2D

Exercice

A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E):\(y'+y=-x-1\) ; où \(y\) désigne une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\) .

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y'+y=0\) .

  2. \(y'+y=0\) s'écrit \(y'=-y\); elle est donc de la forme \(y'=ay\) où \(a=-1\).

    Les solutions de l'équation différentielle \(y'=ay\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=Ce^{ax}\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.

    Ici \(a=-1\), donc :

    \(f(x)=Ce^{-x}\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
  3. Déterminer la solution \(h\) de cette équation différentielle \(y' + y = 0\) prenant la valeur \(\dfrac{1}{e}\) en \(x = 1\).
    Déjà \(h(x)=Ce^{-x}\)
    \(h\left (1\right )=\dfrac{1}{e}\Leftrightarrow C e^{-1}=\dfrac{1}{e} \Leftrightarrow C \times \dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e} \Leftrightarrow C=1\)

    La solution \(h\) de cette équation différentielle \(y' + y = 0\) prenant la valeur \(\dfrac{1}{e}\) en \(x = 1\) est définie par \(h(x)=e^{-x}\) .


  4. Déterminer le nombre réel \(a\) tel que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x)=e^{-x}+ax\) soit solution de l'équation différentielle (E).
    Calculons \(u(x)=-e^{-x}+a\)

    Attention \((e^u)'=u'e^u\)

    \(u\) est solution de (E) ssi pour tout réel \(x\) on a : \[u'(x)+u(x)=-x-1\]\[-e^{-x}+a+e^{-x}+ax=-x-1\]\[ a +ax=-x-1\]\[a=-1\]

    La fonction \(u\) définie par \(u(x)=e^{-x}-x\) est une solution de (E).

  5. Soit \(g\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(g(x)=3e^x+2x-4\) . Vérifier que \(g\) est solution de l'équation différentielle \(g'(x)-g(x)=6-2x\) .

  6. On calcule \(g'(x)=3e^x+2\);
    On forme \(g'(x)-g(x)=3e^x+2-\left (3e^x+2x-4\right )=6-2x\)

    Pour tout réel \(x\) on a bien \(g'(x)-g(x)=6-2x\).

    Oral 10 STI2D

    Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
    • Connaissez-vous votre cours ?
    • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
      Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
    • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

     



    Exercice Cet exercice est un vrai/faux : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.
    1. On considère le polynôme \(P\) défini pour tout réel \(x\) par \(P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)\)
      1. L'équation \(P(x)=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) trois solutions qui sont 1, 3 et \(-\frac{3}{2}\)
      2. Pour tout réel \(x,P(x)=2x^3-5x^2-6x\) .
      3. L'équation \((e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0\) admet trois solutions dans \(\mathbb{R}\) .
    2. Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, \(i\) désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{\pi}{2}\) . On considère les nombres \(z_1=\sqrt 2+\sqrt 2 i\) et \(z_2=\sqrt 2-\sqrt 2 i\)
      1. Les nombres \(z_1\) et \(z_2\) sont solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^2-2\sqrt 2 z+4=0\) .
      2. Un argument de \(z_2\) est \(\frac{-3\pi}{4}\)
      3. Le module de \(z_1\) est \(\sqrt 2\) .
    3. Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(4y''+49y=0\) dans laquelle l'inconnue \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(y''\) sa dérivée seconde.
      1. La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=A\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )+B\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles, est solution de \((E)\).
      2. La fonction \(h\) définie pour tout réel \(x\) par \(h(x)=3\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\) est solution de \((E)\).
      3. La fonction \(k\) définie pour tout réel \(x\) par \(k(x)=\sqrt 2\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) est la solution de (E) qui vérifie \(k(0)=\sqrt2\) et \(k'(0)=0\).

Correction Oral 10 STI2D

Exercice

Cet exercice est un vrai/faux : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.

  1. On considère le polynôme \(P\) défini pour tout réel \(x\) par \(P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)\)
    1. L'équation \(P(x)=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) trois solutions qui sont 1, 3 et \(-\frac{3}{2}\)
      VRAI ! \(P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)=0 \Leftrightarrow (x-1)=0 \text{ ou } (x-3)=0 \text{ ou } (2x+3)=0 \Leftrightarrow x=1 \text{ ou } x=3 \text{ ou } x=-\frac{3}{2}\)
    2. Pour tout réel \(x,P(x)=2x^3-5x^2-6x\) .
      FAUX ! On développe : \[P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)\]\[P(x)=(x^2-4x+3)(2x+3)\]\[P(x)= 2x^3-8x^2+6x+3x^2-12x+9\]\[P(x)= 2x^3-5x^2-6x+9\]
    3. L'équation \((e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0\) admet trois solutions dans \(\mathbb{R}\) .
      \[(1) \Leftrightarrow(e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0 \]\[(1) \Leftrightarrow (e^x-1)=0 \text{ ou } (e^x-3)=0 \text{ ou } (2e^x+3)=0\]\[(1) \Leftrightarrow e^x=1 \text{ ou } e^x=3 \text{ ou } e^x=-\frac{3}{2}\]\[(1) \Leftrightarrow x=\ln 1 \text{ ou } x=\ln 3 \]L'équation \(e^x=-\frac{3}{2}\) n'a pas de solution car pour tout réel \(x\) on a \(e^x>0\)

      L'équation \((e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0\) admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\): 0 et \(\ln 3\) .

  2. Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, \(i\) désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{\pi}{2}\) . On considère les nombres \(z_1=\sqrt 2+\sqrt 2 i\) et \(z_2=\sqrt 2-\sqrt 2 i\)
    1. Les nombres \(z_1\) et \(z_2\) sont solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^2-2\sqrt 2 z+4=0\) .

    2. VRAI ! On calcule \(\Delta =b^2-4ac=\left (2\sqrt 2\right )^2-4\times 1\times 4=-8\)
      Comme \(\Delta < 0\), l'équation a deux racines complexes conjuguées:
      \(z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{2\sqrt 2+ i2\sqrt 2}{2}= \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt 2\) et \(z_2=\bar{z_1}=\sqrt{2}- \text{i}\sqrt 2\)

      Les solutions sont \(\sqrt{2}+ \text{i}\sqrt 2\) et \(\sqrt{2}- \text{i}\sqrt 2\)

    3. Un argument de \(z_2\) est \(\frac{-3\pi}{4}\)
      FAUX ! On calcule son module :\(\left |z_{2}\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^2+\left ( \sqrt{2} \right )^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)
      On détermine un argument en calculant :
      \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{a}{r}=\dfrac{ \sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\theta& = & \dfrac{b}{r}=\dfrac{- \sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.\)
      Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=-\frac{\pi}{4}\)

      Le nombre complexe \(z_{2} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement : 2 et \(-\frac{\pi}{4}\)

    4. Le module de \(z_1\) est \(\sqrt 2\) .
      FAUX ! On calcule son module :\(\left |z_{1}\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^2+\left ( \sqrt{2} \right )^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)
  3. Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(4y''+49y=0\) dans laquelle l'inconnue \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(y''\) sa dérivée seconde.
    1. La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=A\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )+B\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles, est solution de \((E)\).

    2. Vrai !
      Les solutions de l'équation différentielle \(y''+\omega ^2 y=0\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=A\cos\left (\omega x\right )+B\sin\left (\omega x\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles.


      L'équation \((E)\) se met sous la forme précédente en la visant par 4. \(y''+ \dfrac{49}{4} y=0\) soit de la forme \(y''+\omega ^2 y=0\) où \(\omega ^2=\dfrac{49}{4}\); on prend donc \(\omega =\dfrac{7}{2}\).
      Donc la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=A\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )+B\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles, est solution de \((E)\).
    3. La fonction \(h\) définie pour tout réel \(x\) par \(h(x)=3\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\) est solution de \((E)\).

    4. On calcule \(h'(x)=3\times\left (-\dfrac{7}{2}\right ) \sin\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\)
      puis \(h''(x)=3\times\left (-\dfrac{7}{2}\right )\times \left (\dfrac{7}{2}\right )\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )=-\dfrac{147}{4}\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\)

      On a utilisé \((\cos u)'=-u' \sin u \) et \((\sin u)'= u' \cos u \)

      On a alors \(4h''(x)+49h(x)= 4\times \left (-\dfrac{147}{4}\right )\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )+49\times 3\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\)
      \(4h''(x)+49h(x) =-147\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )+147\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )=0\)


      Ayant \(4h''(x)+49h(x)=0\); on a prouvé que \(h\) est une solution de \((E)\).

    5. La fonction \(k\) définie pour tout réel \(x\) par \(k(x)=\sqrt 2\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) est la solution de (E) qui vérifie \(k(0)=\sqrt2\) et \(k'(0)=0\).

    6. Ayant \(k(x)=\sqrt 2\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\); on calcule \(k(0)=\sqrt 2\cos0=\sqrt 2\)
      puis \(k'(x)=\sqrt 2\times \dfrac{7}{2}\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\times \dfrac{7}{2}\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )\)
      donc \(k'(0)=-\dfrac{7\sqrt 2}{2} \)


      Faux! puisque la condition \(k'(0)=0\) n'est pas réalisée.

Oral 11 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice On définit la fonction \(f\) sur l'ensemble des nombres réels par :\(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) . Le plan est rapporté au repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unité graphique 2 cm. On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) . On note \(A\) et \(B\) les points de coordonnées respectives (-3 ; 0 ) et ( 0 ; 2). On note \(D\) le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :

  • la courbe \(C\) ,
  • l'axe des abscisses,
  • l'axe des ordonnées,
  • la droite d'équation : \(x = 2\).

  1. La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle (E) :
    ( \(y\) désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels de variable \(x\) ; \(y'\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(y\).)
    1. \((E):y'-2y=0\) ,
    2. \((E):2y'-y=0\),
    3. \((E):y'-y=0\) ,
    4. \((E):2y'+y=0\)
  2. La courbe \(C\) a pour asymptote la droite d'équation :
    1. \(y=-2x\) ,
    2. \(x=0\) ,
    3. \(y=0\)
  3. On note \(S\) le solide de révolution engendré par la rotation du domaine \(D\) autour de l'axe des abscisses. La valeur \(V\) du volume du solide \(S\) est donnée par :\(V=\pi\displaystyle\int_0^2\left [f(x)\right ]^2\;dx\) (en unités de volume).
    La valeur \(V\) du volume du solide \(S\), en \(cm^3\) est égale à :
    1. \(4\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
    2. \(16\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
  4. \(32\pi\left (1-e^{-2}\right )\)

Correction Oral 11 STI2D

Exercice

On définit la fonction \(f\) sur l'ensemble des nombres réels par :\(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) . Le plan est rapporté au repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unité graphique 2 cm. On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) . On note \(A\) et \(B\) les points de coordonnées respectives (-3 ; 0 ) et ( 0 ; 2). On note \(D\) le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :

  • la courbe \(C\) ,
  • l'axe des abscisses,
  • l'axe des ordonnées,
  • la droite d'équation : \(x = 2\).

  1. La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle (E) :
    ( \(y\) désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels de variable \(x\) ; \(y'\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(y\).)
    1. FAUX :\((E):y'-2y=0\) ,
    2. FAUX : \((E):2y'-y=0\),
    3. FAUX : \((E):y'-y=0\) ,
    4. VRAI : \((E):2y'+y=0\)
    En effet, deux méthodes sont possibles:
    • Méthode 1 :on reporte \(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) dans chacune des équations différentielles.
    • Méthode 2: \(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) est du type \(Ce^{ax}\) où \(a=-\frac{1}{2}\), donc est solution de \(y'=-\frac{1}{2}y\) soit \(2y'=-y\) soit enfin \(2y'+y=0\).
  2. La courbe \(C\) a pour asymptote la droite d'équation :
    1. FAUX : \(y=-2x\) ,
    2. FAUX : \(x=0\) ,
    3. VRAI : \(y=0\)
    On a \(\left.\begin{array}{r} \displaystyle\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{2}x= -\infty \\ \displaystyle\lim_{t\to -\infty}~ e^t =0 \end{array}\right\}\) par composée, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=0\)
    Ayant \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=0\) ; la droite d'équation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(C\) au voisinage de \(+\infty\)
  3. On note \(S\) le solide de révolution engendré par la rotation du domaine \(D\) autour de l'axe des abscisses. La valeur \(V\) du volume du solide \(S\) est donnée par :\(V=\pi\displaystyle\int_0^2\left [f(x)\right ]^2\;dx\) (en unités de volume).
    La valeur \(V\) du volume du solide \(S\),
    en \(cm^3\) est égale à :
    1. FAUX : \(4\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
    2. FAUX : \(16\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
    3. VRAI : \(32\pi\left (1-e^{-2}\right )\)
    4. Déjà on calcule \(\left [f(x)\right ]^2=4e^{-x}\) en effet \(\left (e^a\right )^2=e^{2a}\).
      Puis une primitive de \(G\) de \(g\) définie par \(g(x)= 4e^{-x}\) est \(G(x)=-4e^{-x}\)
      \(x\mapsto e^{ax}\) a pour primitives \(x\mapsto \dfrac{1}{a}e^{ax}+C\)
      Alors \(V=\pi \left [-4e^{-x}\right ]_0^2 u.v.=\pi \times 4\left (1-e^{-2}\right )u.v.\)
      Ici \(1 \;u.v.=(2cm)^3=8\;cm^3\), ainsi \(V=8\times4\pi\left (1-e^{-2}\right )\; cm^3=32\pi\left (1-e^{-2}\right )\; cm^3\)
  4. Oral 12 STI2D

    Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
    • Connaissez-vous votre cours ?
    • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
      Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
    • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

     



    Exercice \(A, B, C\) sont les points d'affixes respectives : \(z_A=-1+i , z_B=2+i , z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i\) .
    1. Calculer les affixes de \(\vec{AB} ,\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\)
    2. En déduire les longueurs \(AB, AC\) et \(BC\).
    3. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?


    Exercice Le plan est muni du repère orthonormal \((O, \vec \imath, \vec\jmath\, )\) (unité de longueur 2~cm).
    On considère \(C_f\), la représentation graphique de la fonction numérique \(f\) définie définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des constantes réelles.
    La représentation graphique de la courbe \(C_f\) est donnée ci-dessous :

    On précise qu'aux points \(A\) et \(B\), la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
    1. A l'aide du graphique, déterminer les valeurs de \(f (0)\), \(f (1)\), \(f' (0)\) et \(f' (2)\).
    2. Déterminer les valeurs des constantes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
    3. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g (x) = x^3 - 3x^2 + 1. \]Déterminer les limites de la fonction \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
    4. Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (Autrement dit calculer la dérivée \(g' (x)\), étudier le signe de cette dérivée, puis établir le tableau de variations de \(g (x)\).)
    5. On admet que la représentation graphique donnée ci-avant est celle de \(C_g\), la courbe représentative de la fonction \(g\).Calculer \(g (1)\). En déduire le signe de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([1, 2]\).
    6. Déterminer une équation de la tangente T à \(C_g\) au point d'abscisse \(1\).
    7. Etudier la position relative de la tangente T par rapport à \(C_g\) .

Correction Oral 12 STI2D

Exercice

\(A, B, C\) sont les points d'affixes respectives : \(z_A=-1+i , z_B=2+i , z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i\) .
Une figure pour commencer !

  1. Calculer les affixes de \(\vec{AB} ,\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\) Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour affixe \(z_{\vec{AB}}=z_B-z_A\).
    • Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour affixe \(z_B-z_A=2+i-(-1+i)=3\).

      \(z_{\vec{AB}}=3\)
    • Le vecteur \(\vec{AC}\) a pour affixe \(z_C-z_A=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i-(-1+i)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\).

      \(z_{\vec{AC}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)
    • Le vecteur \(\vec{BC}\) a pour affixe \(z_C-z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i-(2+i)=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}i\).

      \(z_{\vec{BC}}=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}i\)
  2. En déduire les longueurs \(AB, AC\) et \(BC\). \ENC{Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour norme : \(\left |z_{\vec{AB}}\right |=\left |z_B-z_A\right |\).}
    • Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour norme :
      \(\left |z_B-z_A\right |=|3|=3\).

      \(AB=3\)
    • Le vecteur \(\vec{AC}\) a pour norme:
      \(\left |z_C-z_A\right |=\left |\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\right |=\sqrt{\left (\dfrac{1}{2}\right )^2+\left (-\dfrac{3}{2}\right )^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{10}{4}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\).

      \(AB=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
    • Le vecteur \(\vec{BC}\) a pour norme :
      \(\left |z_C-z_B\right |=\left |-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}i\right |=\sqrt{\left (-\dfrac{5}{2}\right )^2+\left (-\dfrac{3}{2}\right )^2}=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{34}{4}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\).

      \(BC=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\)
  3. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si le triangle \(ABC\) est rectangle , son hypoténuse est le plus grand côté \(AB\)
    \(AC^2+CB^2=\dfrac{10}{4} +\dfrac{34}{4} =\dfrac{44}{4}=11\)
    Or \(AB^2=9\neq 11\),

    Le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.

Exercice

  1. Le plan est muni du repère orthonormal \((O, \vec \imath, \vec\jmath\, )\) (unité de longueur 2~cm). On considère \(C_f\), la représentation graphique de la fonction numérique \(f\) définie définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des constantes réelles. La représentation graphique de la courbe \(C_f\) est donnée ci-dessus :


    On précise qu'aux points \(A\) et \(B\), la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
  2. A l'aide du graphique, on lit les valeurs de \(f (0)=1\), \(f (1)=-1\), \(f' (0)=0\) et \(f' (2)=0\).
    En effet les tangentes à la courbe \(C_f\) aux points d'abscisses 0 et -2 sont horizontales.
  3. Déterminer les valeurs des constantes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
    • \(f(0)=1 \Leftrightarrow a\times 0^3 +b\times 0^2+c \times 0 +d=1 \Leftrightarrow d=1\)
    • \(f(1)=-1 \Leftrightarrow a\times 1^3 +b\times 1^2+c \times 1 +d=1 \Leftrightarrow a+b+c+d=1\)
    • Pour exprimer la condition \(f'(0)=0\), on calcule la dérivée: \(f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) donc \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) \(f'(0)=0 \Leftrightarrow c=0\)
    • \(f'(2)=0 \Leftrightarrow 12a +4b +c=0\)
    On résout alors le système : \[\begin{cases} d&=1\\ a+b+c+d&=1\\ c&=0\\ 12a +4b +c&=0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}d&=1\\ a+b+c&=0\\ c&=0\\ 3a +b &=0\\ \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a&=1\\ b&=-3\\ c&=0\\ d &=1\\ \end{cases}\]

     la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \( f (x) = x^3 - 3x^2 + 1. \)
  4. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g (x) = x^3 - 3x^2 + 1. \]Déterminer les limites de la fonction \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

    Vers l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.



    Ainsi \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty\).

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty\)

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty\).

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty\)
  5. Etudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (Autrement dit calculer la dérivée \(g' (x)\), étudier le signe de cette dérivée, puis établir le tableau de variations de \(g (x)\).)
    On a \(g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
    \(g'(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=2\)
    La dérivée est un trinôme du second degré qui a deux racines, elle a donc le signe de \(a=3\) à l'extérieur des racines et celui de \(-a\) à l'intérieur.



    On en déduit le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) :
  6. On admet que la représentation graphique donnée ci-avant est celle de \(C_g\), la courbe représentative de la fonction \(g\). Calculer \(g (1)=1-3+1=-1\).
    En déduire le signe de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([1, 2]\).
    La fonction \(g\) est strictement décroissante sur \([1;2]\), donc pour tout \(x \in [1;2]\): \[1\leq x\leq 2\]\[g(1)\geq g(x)\geq g(2)\]\[-1\geq g(x)\geq -3\]

    Ce qui prouve que la fonction \(g\) est négative sur \([1;2]\).

  7. Déterminer une équation de la tangente T à \(C_g\) au point d'abscisse \(1\).
    La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= 1\) a pour équation : \[y=g'(a)(x-a)+g(a)\]Ici \(a= 1\), on calcule successivement :
    • \(g(1 )=-1\)
    • \(g'\left (1\right )=3-6=-3\)
    Ainsi \(T:y=-3\left (x-1\right )-1\)


    \(T:y=-3x+2\)

  8. Etudier la position relative de la tangente T par rapport à \(C_g\) .
    On étudie le signe de \(y_{C_g}-y_T=g(x)-(-3x+2)=x^3-3x^2+1+3x-2=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\)
    • \(y_{C_g}-y_T=0 \Leftrightarrow (x-1)^3=0 \Leftrightarrow x=1\)
      \(C_g\) et \(T\) ont un seul point de contact; le point \(A(1;-1)\).
    • \(y_{C_g}-y_T>0 \Leftrightarrow (x-1)^3 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
      \(C_g\) est située au dessus de \(T\) sur \(]1;+\infty[\).
    • \(y_{C_g}-y_T < 0 \Leftrightarrow (x-1)^3 < 0 \Leftrightarrow x < 1\)
      \(C_g\) est située en-dessous de \(T\) sur \(]-\infty;1[\).

Oral 13 STI2D

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  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\) .

  1. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(F(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\).
  2. Calculer \(I=\displaystyle\int_1^4 f(x)\; dx\) .



Exercice

  1. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation \(y = 0\) ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty\),
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) ,
    3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty\)
    1. Le nombre complexe \(z = 1 + i\sqrt{3}\) a pour module et argument respectivement :
    2. 2 et \(\frac{\pi}{3}\) ,
    3. 1 et \(\frac{\pi}{6}\) ,
    4. 4 et \(-\frac{\pi}{3}\)
    1. Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). Le point d'affixe \(1 + i\) appartient:
    2. au cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\). ,
    3. à la droite d'équation \(y =-x\). ,
    4. au cercle de centre O et de rayon 1.

 

Correction Oral 13 STI2D

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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\) .

  1. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(F(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\).
  2. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(F(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\).
    Il suffit de dériver !
    \(F=u+v\) où \(u(x)=\ln x\) et \(v(x)= \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\)
    On a donc \(u'(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(v'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2\ln x \times \dfrac{1}{x}\)


    On a utilisé la formule \((u^2)'=2uu'\).

    Ainsi \(F'(x)=u'(x)+v'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1+\ln x}{x}=f(x)\)
    Comme \(F'(x)=f(x)\), on a bien montré que \(F\) est une primitive de \(f\).
  3. Calculer \(I=\displaystyle\int_1^4 f(x)\; dx\) .
  4. \(I=\displaystyle\int_1^4 f(x)\; dx=\left [F(x)\right ]_1^4=F(4)-F(1)\) On calcule successivement :
    • \(F(4)=\dfrac{1+\ln 4}{4}\)
    • \(F(1)=\dfrac{1+\ln 1}{1}=1\) car \(\ln 1=0\)
    Ainsi \(I=\dfrac{1+\ln 4}{4}-1=\dfrac{2\ln 2-3}{4}\)

    \(I=\dfrac{2\ln 2-3}{4}\)



Exercice

  1. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation \(y = 0\) ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty\),
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) ,
    3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty\)
    \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation \(y = 0\) .
    C'est une limite du cours !
    1. Le nombre complexe \(z = 1 + i\sqrt{3}\) a pour module et argument respectivement :
    2. 2 et \(\frac{\pi}{3}\) ,
    3. 1 et \(\frac{\pi}{6}\) ,
    4. 4 et \(-\frac{\pi}{3}\)
    Le nombre complexe \(z = 1 + i\sqrt{3}\) a pour module et argument respectivement :
    On calcule son module \(\left |z\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+\sqrt 3^2}=\sqrt{4}=2\)
    On détermine un argument en calculant :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{2} \\ \sin\theta& = & \dfrac{b}{r}=\dfrac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\)
    Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
    Le nombre complexe \(1+i\sqrt 3\) a pour module et argument respectivement : 2 et \(\frac{\pi}{3}\) .
    1. Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). Le point d'affixe \(1 + i\) appartient:
    2. au cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\). ,
    3. à la droite d'équation \(y =-x\). ,
    4. au cercle de centre O et de rayon 1.
    On note \(A\) le point d'affixe \(z_A=1+i\)
    \(OA=\left |z_A\right |=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)
    De \(OA=\sqrt 2\) on déduit que \(A\) appartient au cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\)

 

Oral 14 STI2D

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  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!


Exercice Soit \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=2x-4-\ln(x)\)

  1. Déterminer \(g'(x)\) et étudier son signe
  2. Calculer la limite en \(0\)
  3. Démontrer que \(g(x)=x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\). En déduire \(\lim \limits_{x\rightarrow +\infty} g(x)\)



Exercice On considère les nombres complexes suivants : \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]

  1. Placer ces nombres complexes un repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique \(1:1cm\)
  2. Donner le module et un argument de \(z_1 \times z_2\)
  3. Donner la forme algébrique de \(z_1 \times z_2\)

 

Correction Oral 14 STI2D

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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 


Exercice Soit \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=2x-4-\ln(x)\)

  1. Déterminer \(g'(x)\) et étudier son signe
  2. On obtient \(g'(x)=2-\dfrac{1}{x}\)
  3. Calculer la limite en \(0\)
  4. \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~2x-4=-4\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~-\ln(x)=+\infty \end{array}\right\}\) par somme on obtient: \(\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=+\infty\)
    La droite d'équation \(x=0\) est donc asymptote verticale à \(C_g\), la représentation graphique de \(g\).
  5. Démontrer que \(g(x)=x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\). En déduire \(\lim \limits_{x\rightarrow +\infty} g(x)\)
  6. Il suffit de développer \(x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\) pour obtenir \(g(x)\).
    On utilise l'écriture : \(g(x)=x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\)
    \(\left.\begin{array}{r} \text{ D'après une limite usuelle }\displaystyle\lim_{x\to +\infty} -\dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \\ \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ -\dfrac{4}{x} =0 \\  \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ 4 =4 \end{array}\right\}\) par somme on obtient: \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )=4\)

    \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )=4\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~x= +\infty \end{array}\right\}\) par produit on obtient: \(\lim\limits_{x \to+\infty}g(x)=+\infty\)



Exercice On considère les nombres complexes suivants : \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]

  1. Placer ces nombres complexes un repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique \(1:1cm\)
  2. Une figure pour commencer !

  3. Donner le module et un argument de \(z_1 \times z_2\)
  4. \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]On a donc \( z_1= e^ {i\frac{\pi}{3}} \) et \( z_2=3e^ {i\frac{3\pi}{4}} \)
    On a donc \(z_1 \times z_2=e^ {i\frac{\pi}{3}} \times 3e^ {i\frac{3\pi}{4}}=3 e^ {i\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}} = 3e^ {i\frac{13\pi}{12}}\)
  5. Donner la forme algébrique de \(z_1 \times z_2\)
  6. \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]On a donc \( z_1= e^ {i\frac{\pi}{3}} =\cos\left (\frac{\pi}{3}\right )+i\sin\left (\frac{\pi}{3}\right )=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \( z_2=3e^ {i\frac{3\pi}{4}} =3\left (\cos\left (\frac{3\pi}{4}\right )+i\sin\left (\frac{3\pi}{4}\right )\right )=3\left (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )\)
    On a donc \(z_1 \times z_2=\left (\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) \times \left (-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right )\) \[z_1 \times z_2= \left ( -\dfrac{3\sqrt{2}}{4} -\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\right )+i\left ( \dfrac{3\sqrt{2}}{4} -\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\right )\]

 

Oral 15 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!


Exercice : Nombres complexes
Soit \(\mathrm{i}\) le nombre complexe de module \(1\) et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=2z^3-10z^2+21z-18\).

  1. Calculer \(P(2)\), puis déterminer les réels \(a, b\) et \(c\) tels que pour tout nombre complexe \(z\) on ait \[P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)\]
  2. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l'équation \(2z^2-6z+9=0\), puis en déduire les solutions de l'équation \(P(z)=0\).
  3. Le plan est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) (unité graphique \(2\) cm). On considère les points \(A\) et \(B\), d'affixes respectives \(z_A=\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} \mathrm{i}\) et \(z_B = \overline{z_A}\), ainsi que les points \(C\) et \(D\) d'affixes respectives \(z_C\) et \(z_D\) telles que \(z_C=-z_A\) et \(z_D=\mathrm{i}z_A\).
    1. Écrire les nombres complexes \(z_C\) et \(z_D\) sous forme algébrique.
    2. Sur la copie, placer les points \(A, B, C,\) et \(D\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\).
    3. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier la réponse.



Exercice : Une étude de fonction exponentielle
On considère la fonction \(f\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \[f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.\]On appelle (\(\mathcal{C}\)) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), unités graphiques : 3 cm sur l'axe des-abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

  1. Étude en \(-\infty\).
    1. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).
    2. Montrer que la droite \(\Delta\) d'équation \(y = x + 3\) est asymptote à la courbe (\(\mathcal{C}\)) en \(- \infty\).
    3. Étudier la position de la courbe (\(\mathcal{C}\)) par rapport à la droite \(\Delta\).
  2. Étude en \(+ \infty\).
    1. Justifier que pour tout nombre réel \(x\) non nul, \[f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}\right]x.\]
    2. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).
  3. Étude des variations de \(f\)
    1. Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    2. Étudier le signe de \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). Donner la valeur exacte de son maximum.
  4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (\(\mathcal{C}\)) au point d'abscisse 0.

Correction Oral 15 STI2D

Oral 15 STI2D


Exercice : Nombres complexes
Soit \(\mathrm{i}\) le nombre complexe de module \(1\) et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=2z^3-10z^2+21z-18\).

  1. Calculer \(P(2)\), puis déterminer les réels \(a, b\) et \(c\) tels que pour tout nombre complexe \(z\) on ait \[P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)\]
  2. \(P(2)=2\times 8-10 \times 4+42-18=58-58\)
    Ayant \(P(2)=0\) on déduit que \(P(z)\) se factorise par \((z-2)\);
    \[P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)\]\[P(z)=az^3+bz^2+cz-2az^2-2bz-2c\]\[P(z)=az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c\]\[ \text{ Or }P(z)=2z^3-10z^2+21z-18\]En identifiant les termes de même degré, il vient :
    \[\begin{cases} a&=2\\ b-2a&=-10\\ c-2b&=21\\ -2c&=-18 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a&=1\\ b&=2a-10\\ c &=2b+21\\ c&=9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a&=2\\ b&=-6\\ c&=9 \end{cases} \]

    \(P(z)=(z-2)(z^2-6z+9)\)

  3. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l'équation \(2z^2-6z+9=0\), puis en déduire les solutions de l'équation \(P(z)=0\).
  4. On calcule \(\Delta =36-4\times 2\times 9=108=-36\)
    Comme \(\Delta >0\) l'équation a deux racines complexes conjuguées :
    \(z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{6+6i}{4}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\);
    \(z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{6-6i}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\)


    \(\mathcal{S} =\{\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i;\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\}\)

    puis en déduire les solutions de l'équation \(P(z)=0\) :
    \(P(z)=0 \Leftrightarrow (z-2)(z^2-6z+9)=0 \Leftrightarrow z=2 \text{ ou } (z^2-6z+9)=0\)


    \(\mathcal{S} =\{2;\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i;\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\}\)

  5. Le plan est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) (unité graphique \(2\) cm). On considère les points \(A\) et \(B\), d'affixes respectives \(z_A=\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} \mathrm{i}\) et \(z_B = \overline{z_A}\), ainsi que les points \(C\) et \(D\) d'affixes respectives \(z_C\) et \(z_D\) telles que \(z_C=-z_A\) et \(z_D=\mathrm{i}z_A\).
    1. Écrire les nombres complexes \(z_C\) et \(z_D\) sous forme algébrique.
    2. \(z_C=-z_A=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\); \(z_D=iz_A=i\left (\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\right )=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\)


      \(z_C=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\);\(z_D=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\)

    3. Sur la copie, placer les points \(A, B, C,\) et \(D\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\).

    4. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier la réponse.
    5. \(ABCD\) est un carré; en effet :
      • \(z_{\vec{AB}}=z_B-z_A=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i=-3i\)
        \(z_{\vec{DC}}=z_C-z_D=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i=-3i\)
        On a donc \(z_{\vec{AB}}=z_{\vec{DC}}\), ce qui prouve \(\vec{AB}=\vec{DC}\), et donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
      • \(z_{\vec{AB}}=-3i\) donc \(\vec{AB} \begin{pmatrix} 0\\ -3 \end{pmatrix}\)
        \(z_{\vec{AD}}=z_D-z_A=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i=-3\) donc \(\vec{AD} \begin{pmatrix} -3\\ 0 \end{pmatrix}\)
        \(\vec{AB}\centerdot \vec{AD}=x x'+y y'=0\times (-3)+(-3)\times 0\)
        \(\vec{AB}\centerdot \vec{AD}=0\) donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \( \vec{AD}\) sont orthogonaux, ce qui prouve que \(ABCD\) est un parallélogramme qui a un angle droit, c'est donc un rectangle.
      • \(AB=\left |z_B-z_A\right |=|-3i| =3\) et \(AD=\left |z_D-z_A\right |=|-3| =3\)
        Ayant \(AB=AD\); le rectangle \(ABCD\) a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est donc un carré.



Exercice : Une étude de fonction exponentielle
On considère la fonction \(f\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \[f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.\]On appelle (\(\mathcal{C}\)) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), unités graphiques : 3 cm sur l'axe des-abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

  1. Étude en \(-\infty\).
    1. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).
    2. \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to -\infty}- \text{e}^{2x}=0\\ \lim\limits_{x\to -\infty}~ x+3 =-\infty \end{array}\right\}\) par somme ,
      \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}~f(x)= -\infty\)

    3. Montrer que la droite \(\Delta\) d'équation \(y = x + 3\) est asymptote à la courbe (\(\mathcal{C}\)) en \(- \infty\).
    4. On forme \(f(x)-(x+3)=- \text{e}^{2x}\)
      or \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}- \text{e}^{2x}=0\),
      On a donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [f(x)-(x+3)\right ]=0\).

      ce qui prouve que la droite \(D\) d'équation \(y=x+3\) est asymptote à la courbe \(C\) au voisinage de \(-\infty\).

    5. Étudier la position de la courbe (\(\mathcal{C}\)) par rapport à la droite \(\Delta\).
    6. On étudie le signe de \(y_{C}-y_{\Delta}=f(x)-(x+3)=- \text{e}^{2x}\)
      La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\); donc pour tout \(x \in \mathbb{R}\) on a \(y_{C}-y_{\Delta} < 0\).

      La courbe \(C\) est située en dessous de \(\Delta \) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Étude en \(+ \infty\).
    1. Justifier que pour tout nombre réel \(x\) non nul, \[f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}\right]x.\]
    2. Il suffit de développer !
      \(f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}\right]x=\dfrac{\text{e}^x}{x}\times\left(-\text{e}^{x}\right) +x+3= - \text{e}^{2x} + x + 3 \)
    3. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).


    4. D'après un théorème du cours \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\)

      \(\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ -\text{e}^x =-\infty \end{array}\right\}\) par produit , \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~\dfrac{\text{e}^x}{x}\times\left(-\text{e}^{x}\right)= -\infty\) .
      \(\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~\dfrac{\text{e}^x}{x}\times\left(-\text{e}^{x}\right)= -\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ 1 + \dfrac{3}{x} =1 \end{array}\right\}\) par somme , \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}= -\infty\) .
      \(\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to -\infty}- \text{e}^{2x}=0 \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}~ x+3 =-\infty \end{array}\right\}\) par produit , \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)= -\infty\) .
  3. Étude des variations de \(f\)
    1. Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    2. On a\(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\)
      On utilise l'écriture : \(f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3\) Ainsi \(f'(x)=-2\text{e}^{2x}+1\)

      On rappelle \((e^u)'=u'e^u\).

    3. Étudier le signe de \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    4. On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x>0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
      • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow -2\text{e}^{2x}+1=0 \Leftrightarrow \text{e}^{2x}= \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \ln\left (\text{e}^{2x}\right )=\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )\Leftrightarrow 2x=-\ln 2 \)
        \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{\ln 2}{2}\)
      • \(-2\text{e}^{2x}+1>0 \Leftrightarrow \text{e}^{2x}< \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \ln\left (\text{e}^{2x}\right )<\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )\Leftrightarrow 2x < -\ln 2 \)
        \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x<-\dfrac{\ln 2}{2}\)
    5. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). Donner la valeur exacte de son maximum.

    6. On a bien sûr calculé \(f\left(-\frac{\ln 2}{2}\right )=-e^{2\times \left (-\frac{\ln 2}{2}\right )}-\frac{\ln 2}{2}+3=-e^{-\ln 2}-\frac{\ln 2}{2}+3=-\dfrac{1}{2}+3-\frac{\ln 2}{2}=\frac{5-\ln 2}{2}\)

      La valeur exacte du maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(\frac{5-\ln 2}{2}\).

  4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (\(\mathcal{C}\)) au point d'abscisse 0.
  5. La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= 0\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= 0\), on calcule successivement :
    • \(f(0 )=-1+0+3=2\)
      On a utilisé 
      \(\ln\left (\dfrac{1}{a}\right )=-\ln a\)
    • \(f'(0)=-2+1=-1\)
    Ainsi \(T:y=-\left (x-0\right )+2\)


    \(T:y=2-x\)

Une figure :

Oral 16 STI2D

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Exercice
Nombres complexes On considère les deux nombres complexes suivants : \[a=1+i \qquad \qquad b=\sqrt{3}-i\]

  1. Déterminer le module et un argument de \(a\) et \(b\)
  2. Ecrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle
  3. Donner la forme exponentielle de \(\dfrac{1}{a}\)



Exercice La courbe \(\Gamma\) (=gamma) est la courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([-\frac{3}{2};1]\) .

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On sait que :

  • Les points A, B, et C ont pour coordonnées respectives (-2;0), (0;1) et (1;\(\frac{5}{2}\)).
  • La courbe \(\Gamma\) passe par les points B et C
  • La droite (AB) est \emph{la tangente en B} à la courbe \(\Gamma\)
  1. A l'aide de tous ces renseignements, calculer
    • \(f(0)\)
    • \(f(1)\)
    • \(f'(0)\)
  2. On admet que \(f(x)=x^3+\frac{1}{2}x+1\) sur [\(-\frac{3}{2};1\)].
    Calculer l'aire (en ua) du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droite d'équations \(x=0\) et \(x=1\)

Correction Oral 16 STI2D

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Exercice
Nombres complexes On considère les deux nombres complexes suivants : \[a=1+i \qquad \qquad b=\sqrt{3}-i\]

  1. Déterminer le module et un argument de \(a\) et \(b\)
  2. On calcule son module \( |a|=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)
    On détermine un argument en calculant :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt 2} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\theta& = & \dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{\sqrt 2} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.\)
    Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=\frac{\pi}{4}\)

    Le nombre complexe \(a = 1+i\) a pour module et argument respectivement :\(\sqrt{2}\) et \(\frac{\pi}{4}\)

    On calcule son module \( |b|=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=\sqrt{4}=2\)
    On détermine un argument en calculant :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{x}{r}=\dfrac{\sqrt 3 }{2}\\ \sin\theta& = & \dfrac{y}{r}=-\dfrac{1}{ 2} \end{array} \right.\)
    Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=-\frac{\pi}{6}\)

    Le nombre complexe \(b=\sqrt{3}-i\) a pour module et argument respectivement :\(2\) et \(-\frac{\pi}{6}\)

  3. Ecrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle

  4. Le nombre complexe \(a = 1+i\) a pour module et argument respectivement :\(\sqrt{2}\) et \(\frac{\pi}{4}\) donc

    \(a=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)

    Le nombre complexe \(b=\sqrt{3}-i\) a pour module et argument respectivement :\(2\) et \(-\frac{\pi}{6}\) donc

    \(b=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)

  5. Donner la forme exponentielle de \(\dfrac{1}{a}\)

  6. De \(a=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) on déduit \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt 2}{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
    On rappelle que si \(z=re^{i\theta}\) alors \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}\).



Exercice La courbe \(\Gamma\) (=gamma) est la courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([-\frac{3}{2};1]\) .

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On sait que :

  • Les points A, B, et C ont pour coordonnées respectives (-2;0), (0;1) et (1;\(\frac{5}{2}\)).
  • La courbe \(\Gamma\) passe par les points B et C
  • La droite (AB) est \emph{la tangente en B} à la courbe \(\Gamma\)
  1. A l'aide de tous ces renseignements, calculons
    • \(f(0)=1\)
    • \(f(1)=\frac{5}{2}\)
    • \(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\Gamma\) au point d'abscisse \(0\) , c'est donc le coefficient directeur de la droite \((AB)\) :\(f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-0}{0+2}=\dfrac{1}{2}\)

      \(f'(0)=\dfrac{1}{2}\)

  2. On admet que \(f(x)=x^3+\frac{1}{2}x+1\) sur [\(-\frac{3}{2};1\)].
    Calculer l'aire (en ua) du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droite d'équations \(x=0\) et \(x=1\)
  3. Comme la fonction \(f\) est positive sur \([0;1]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \([0;+\infty[\) donc sur \([0;1]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_0^1f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_0^1=F(1)-F(0)\]On calcule successivement :
    • une primitive de \(f\) définie par \(F(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^2}{2}+x=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{4}+x\)
    • \(F(1)=\frac{1}{4} +\frac{1}{4}+1=\frac{3}{2}\)
    • \(F(0)=0\)
    • \(F(1)-F(0)=\frac{3}{2}\)


    \(A=\frac{3}{2}\;u.a. \)

Oral 17 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice
Exponentielle et calcul intégral
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;2]\) par \(f(x)=e^{-x}\)

  1. Etudier les variations de \(f\) et en déduire le maximum et le minimum de \(f\)
  2. Calculer la valeur moyenne de \(f\) c'est-à-dire le nombre \(m\) tel que: \[m=\dfrac{1}{2-0}\int_{0}^{2} e^{-x}dx\]



Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle \[(E) : \qquad y''+y=0\]
  2. On désigne par \(f\) la solution particulière de \((E)\) dont la courbe représentative dans passe par le point de coordonnées \((0;1)\) et qui admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation \(y=x\)
    1. D'après l'énoncé, combien valent \(f(0)\) et \(f'(0)\)?
    2. En déduire que \(f(x)=\cos(x)+\sin(x)\)

 

Correction Oral 17 STI2D

Exercice : Exponentielle et calcul intégral Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;2]\) par \(f(x)=e^{-x}\)

  1. Etudier les variations de \(f\) et en déduire le maximum et le minimum de \(f\)

  2. On calcule sa dérivée qui vaut \(f'(x)=-e^{-x}\).
    On étudie le signe de la dérivée, comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), on déduit que \(f'(x)< 0\) ce qui prouve que \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).


     Au vu de cette étude pour tout \(x \in [0;2]\) on a \(f(0)\geq f(x)\geq f(2)\)
    Soit \[ e^{-2}\leq f(x)\leq 1\]Le maximum de \(f\) sur \([0;2]\) est 1.
    Le minimum de \(f\) sur \([0;2]\) est \( e^{-2}\).
  1. Calculer la valeur moyenne de \(f\) c'est-à-dire le nombre \(m\) tel que: \[m=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_{0}^{2} e^{-x}dx\]
  2. On calcule successivement :
    • une primitive de \(f\) définie par \(F(x)=-e^{-x}\)

      Si \(a\neq 0\) alors \(x \mapsto e^{ax}\) a pour primitives \(x \mapsto \frac{1}{a}e^{ax}+ C\)

    • \(F(2)=-e^{-2}=-\dfrac{1}{e^2}\)
    • \(F(0)=-e^0=-1\)
    • \(F(2)-F(0)=-\dfrac{1}{e^2}+1\)


    \(m=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_{0}^{2} e^{-x}dx=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2e^2}\)

Exercice : Equation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle \[(E) : \qquad y''+y=0\]
  2. L'équation différentielle \(y''+y=0\) est du type \(y''+\omega ^2y=0\); où \(\omega =1\)


    Les solutions de \(E\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=A\cos x +B \sin x\) où \(A\) et \(B\) désignent deux constantes réelles quelconques.


  3. On désigne par \(f\) la solution particulière de \((E)\) dont la courbe représentative dans passe par le point de coordonnées \((0;1)\) et qui admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation \(y=x\)
    1. D'après l'énoncé, combien valent \(f(0)\) et \(f'(0)\)?
      • \(A(0;1) \in C_f \Leftrightarrow f(0)=1\).
      • \(C_f\) admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation \(y=x\) de cofficient directeur 1; donc \(f'(0)=1\)

        Deux droites sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur.

    2. En déduire que \(f(x)=\cos(x)+\sin(x)\)
      \(f\) est une solution de \(E\) donc :
      \(f(x)=A\cos x +B \sin x\)
      On déduit \(f'(x)=-A\sin x+B\cos x\).
      \[\left \{ \begin{array}{rcl} f(0)& = & 1 \\
      f'(0) & = &1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} A \cos 0 + B\sin 0& = & 1 \\ -A\sin 0+B\cos 0& = &1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} A & = & 1 \\ B& = &1 \end{array} \right. \]On déduit donc \(f(x)=\cos(x)+\sin(x)\)

Oral 18 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice Etude d'une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x)=\frac{\ln x}{x^2}\]

  1. Vérifier que la dérivée \(f'\) est donnée par \(f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)
  2. Résoudre dans \(]0;+\infty[\) l'inéquation \(1-2\ln x>0\)
  3. En déduire le tableau des variations de \(f\)
  4. Calculer, en simplifiant au maximum, les images de : \[\frac{1}{2} \qquad ;\qquad 4 \qquad ;\qquad 2e \]



Exercice

  1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : \(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} cos(2x) \, dx \)
  2. Soit \(f\) définie sur \(]-2;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{x+2}\)
    1. Démontrer que \(f(x)=\dfrac{7}{x+2}+x-4\)
    2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx\)

 

Correction Oral 18 STI2D

Exercice

Etude d'une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x)=\frac{\ln x}{x^2}\]

  1. Vérifier que la dérivée \(f'\) est donnée par \(f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)

  2. On a \(f=\dfrac{u}{v}\) donc \(f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\)
    Ici \(u(x)=\ln x\) et \(v(x)=x^2\)
    donc \(u'(x)=\dfrac{1}{x} \) et \(v'(x)=2x\).
    Ainsi \(f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-2x \ln x }{x^4}=\dfrac{x(1-2\ln x)}{x\times x^3}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)
  3. Résoudre dans \(]0;+\infty[\) l'inéquation \(1-2\ln x > 0\)

  4. \(1-2\ln x > 0 \Leftrightarrow -2\ln x >-1 \Leftrightarrow \ln x <\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow e^{\ln x}>e^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow 0 < x<\sqrt e\)

    \(\mathcal{S} =]0;\sqrt e[\)

  5. En déduire le tableau des variations de \(f\)

  6. on a \(x^3>0\) et donc la dérivée a le signe de \(1-2\ln x>0\)
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 1-2\ln x=0 \Leftrightarrow \ln x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\sqrt e\)
    • \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow 1-2\ln x=0 \Leftrightarrow 0 < x<\sqrt e\)

    On a bien sûr calculé \(f\left (\sqrt e\right )=\frac{1}{2e}\)Calculer, \emph{en simplifiant au maximum, les images de : \[\frac{1}{2} \qquad ;\qquad 4 \qquad ;\qquad 2e \]\(f\left (\frac{1}{2}\right )=\dfrac{\ln \left (\frac{1}{2}\right )}{\left (\frac{1}{2}\right )^2}=\dfrac{-\ln 2}{\dfrac{1}{4}}=-4\ln 2\).
    • \(f\left (\frac{1}{2}\right )=-4\ln 2\)
    • De même \(f(4)=\dfrac{\ln 4}{4^2}=\dfrac{2 \ln 2}{16}\) \(f(4)=\dfrac{ \ln 2}{8}\)
    • \(f(2e)=\dfrac{\ln (2e)}{(2e)^2}=\dfrac{\ln 2+\ln e}{4e^2}=\dfrac{\ln 2+1}{4e^2}\)
      \(f(2e)=\dfrac{\ln 2+1}{4e^2}\)

Exercice

  1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : \(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \cos(2x) \, dx \)
  2. On calcule successivement :
    • une primitive de \(f\) définie par \(F(x)=\dfrac{1}{2}+\sin(2x)\)
    • \(F\left (-\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left (-\dfrac{2\pi}{3} \right )=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt 3}{2}=-\dfrac{\sqrt 3}{4} \)
    • \(F\left (\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left (\dfrac{2\pi}{3} \right )=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt 3}{2}=\dfrac{\sqrt 3}{4} \)
    • \(F\left (\frac{\pi}{3}\right)-F\left (-\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt 3}{4}+\dfrac{\sqrt 3}{4}\)


    \(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \cos(2x) \, dx =\dfrac{\sqrt 3}{2}\)

  3. Soit \(f\) définie sur \(]-2;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{x+2}\)
    1. Démontrer que \(f(x)=\dfrac{7}{x+2}+x-4\)

    2. Il suffit de réduire au même dénominateur !
      \(\dfrac{7}{x+2}+x-4 =\dfrac{7}{x+2}+\dfrac{(x-4)(x+2)}{x+2}=\dfrac{7+(x-4)(x+2)}{x+2}=\dfrac{7+x^2-4x+2x-8}{x+2}\)
      \(\dfrac{7}{x+2}+x-4 =\dfrac{x^2-2x-1}{x+2}=f(x)\)
    3. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx\)
    4. On calcule successivement :
      • une primitive de \(f(x)=\dfrac{7}{x+2}+x-4 \) définie par \(F(x)=7\ln |x+2|+\dfrac{x^2}{2}-4x\)

        \(\dfrac{7}{x+2}\) est de la forme \(7\dfrac{u'}{u}\) qui a pour primitive \(7\ln |u|\).

      • \(F\left (2\right)=7\ln |2+2|+2-8=7\ln 4-4=7\times 2\ln 2-6=14\ln 2-6\)
      • \(F\left (0\right)=7\ln |0+2|+0^2-0=7\ln 2\)
      • \(F(2)-F(0)=14\ln 2-4-7\ln 2=7\ln 2-6\)


      \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx=7\ln 2-6\)

Oral 19 STI2D

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  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle :\[y'+2y=0\]où \(y\) est une fonction de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
  2. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \, \(f(x)=e^{-2x}\)
    Déterminer graphiquement et algébriquement les solutions de l'inéquation \(f(x)>2\)



Exercice
Probabilités Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à \(10^{-3}\) près. Partie A :
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

  1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et l'écart type \(\sigma(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
  3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.


Partie B :
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit \(M\) la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que \(M\) suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

  1. Déterminer la probabilité \(P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)\).
  2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?

Correction Oral 19 STI2D


Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle :\[y'+2y=0\]où \(y\) est une fonction de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
  2. Cette quation différentielle s'écrit \(y'=-2y\).
    Elle est du type \(y'=ay\) où \(a=-2\).
    Les solutions sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=Ce^{-2x}\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
  3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \, \(f(x)=e^{-2x}\)
    Déterminer graphiquement et algébriquement les solutions de l'inéquation \(f(x)>2\)
    • grapiquement: on trace la droite d'équation \(y=2\) et on lit les abscisses des points de \(C_f\) situés en dessous de cette droite.

      On obtient \(\mathcal{S}=\left ]-\infty;\alpha\right [\) où \(\alpha \approx -0.3\)

    • algébriquement :\(f(x)>2 \Leftrightarrow e^{-2x}>2 \Leftrightarrow \ln\left (e^{-2x}\right )>\ln 2 \Leftrightarrow -2x >\ln 2 \Leftrightarrow x<-\dfrac{\ln 2}{2}\)

      \(\mathcal{S}=\left ]-\infty;-\dfrac{\ln 2}{2}\right [\)



Exercice
Probabilités Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à \(10^{-3}\) près. Partie A :
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

  1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,9.
  3. Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et l'écart type \(\sigma(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
  4. L'espérance mathématique de la variable aléatoire \( X\) qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100,9)\) est \(E(X)=np=10\times 0,9=9\).
    L'écart type de la variable aléatoire \(X\) qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100,9)\) est \(\sigma(X)=\sqrt{npq} =\sqrt{10\times 0,9\times (1-0,9)}=\sqrt{0,9}\approx 0,95\)
  5. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.
  6. \(P(X\geq 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =\binom{10}{8}\times 0,9 ^ 8 \times 0,1 ^ 2+\binom{10}{9}\times 0,9 ^ 9 \times 0,1 ^ 1+0,9^{10} \approx 0,9298\)
    remarque : Selon le modèle de calculatrice utilisée, on peut obtenir ce résultat avec \(P(X\geq 8)=1-P(X\leq 7) \approx 0,9298\) ou \(PX\geq 8=P(8\leq X \leq 10) \approx 0,9298\)
    Par exemple sous TI \(P(X=8)=binomFdP(10,0.9,8)\approx 0,1937\)
    \(P(X\leq 7 )=binomFdP(10,0.9,87)\approx 0,0701\)

    Arrondie à \(10^{-3}\) près, la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes est 0,93.


Partie B :
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit \(M\) la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que \(M\) suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

  1. Déterminer la probabilité \(P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)\).
  2. \(P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)\approx 0,904\)
    \(NormalFRep(79,81,80,0.6)\)

    La probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit compris entre 79 et 81 est environ 0,904.

  3. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
  4. M suit la loi normale d'espérance 80 donc :

    la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 est égale 0,5.

    Oral 20 STI2D

    Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
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    Exercice
    Calcul d'une primitive
    On note \(g\) la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[g(x) = \dfrac{x}{x + 1}\]
    1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle [0 ; 2],~ \( g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}\).
    2. En déduire une primitive de \(g\) sur l'intervalle [0 ; 2].

    Exercice
    Équation différentielle
    1. Résoudre l'équation différentielle (E) : \(y'' +\dfrac{1}{4}y = 0,~y\) désignant une fonction numérique définie sur l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels.
    2. Déterminer la fonction \(f\), solution de l'équation précédente, qui vérifie :
      \(f(0) = 2\) et \(f'(0) = \sqrt{3}\).
    3. Vérifier, que pour tout nombre réel \(x,~f(x) = 4 \sin\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\).
      1. En utilisant l'équation différentielle (E), expliquer comment on peut obtenir la représentation graphique de \(f''\), dérivée seconde de \(f\), à partir de celle de \(f\).
      2. Ci-dessous est tracée la représentation graphique de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~4\pi]\). Tracer la représentation de \(f''\) sur ce même graphique et sur ce même intervalle.

Correction Oral 20 STI2D


Exercice
Calcul d'une primitive On note \(g\) la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[g(x) = \dfrac{x}{x + 1}\]

  1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle [0 ; 2],~ \( g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}\).

  2. On réduit au même dénominateur :
    \(a + \dfrac{b}{x + 1}=\dfrac{a(x+1)}{x+1}+ \dfrac{b}{x + 1}=\dfrac{a(x+1)+b}{x+1}=\dfrac{ax+(a+b)}{x+1}\)
    Or \[g(x)=\dfrac{x}{x + 1}\]ainsi \[\dfrac{ax+(a+b)}{x+1}=\dfrac{x}{x + 1}\]On identifie les numérateurs : \[ax+(a+b)=1\times x+0\]\[\left \{\begin{array}{rcl} a& = & 1 \\ a+b & = &0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} a& = & 1 \\ b& = &-1 \end{array} \right.\]

    \(g(x)=1-\dfrac{1}{x + 1}\)

  3. En déduire une primitive de \(g\) sur l'intervalle [0 ; 2].

  4. \(g(x)=1-\dfrac{1}{x + 1}\),ainsi une primitive\(G\) de \(g\) est définie par \(G(x)=x-\ln|x+1|\)

    \(\dfrac{1}{x+1}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) qui a pour primitive \(\ln |u|\).

    Comme ici \(x\geq 0\); on a \(x+1\geq 1\) soit \(x+1>0\); ainsi \( |x+1|=x+1\).

    Une primitive de \(g\) sur l'intervalle [0 ; 2] est la fonction \(G\) définie par \(G(x)=x-\ln(x+1)\).


Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle (E) : \(y'' + \dfrac{1}{4}y = 0,~y\) désignant une fonction numérique définie sur l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels.

  2. L'équation différentielle \(y''+\dfrac{1}{4}y=0\) est du type \(y''+\omega ^2y=0\); où \(\omega =\dfrac{1}{2}\)
    Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=A\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+B \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )\) où \(A\) et \(B\) désignent deux constantes réelles quelconques.
  3. Déterminer la fonction \(f\), solution de l'équation précédente, qui vérifie :
    \(f(0) = 2\) et \(f'(0) = \sqrt{3}\).

  4. \(f\) est une solution de \(E\) donc :
    \(f(x)=A\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+B \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )\)
    On déduit \(f'(x)=-\dfrac{1}{2}A\sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )+\dfrac{1}{2}B \cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )\) .
    On utilise les deux formules de dérivations \((\cos u)'=-u'\sin u\) et \((\sin u)'=u'\cos u\)

    \(f(0)=2 \Leftrightarrow A\cos 0+B\sin 0= 2\), or \(\cos 0=1\) et \(\sin 0=0\), donc
    \(f(0)=2 \Leftrightarrow A= 2\) \(f'(0)=\sqrt 3 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}A\sin \left (0\right )+\dfrac{1}{2}B \cos \left (0\right )=\sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}B =\sqrt 3 \Leftrightarrow B=2\sqrt 3 \)

    On déduit donc \(f(x)=2\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+2\sqrt 3 \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )\)

  5. Vérifier, que pour tout nombre réel \(x,~f(x) = 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\).

  6. On utilise la formule de trigonométrie :\(\sin(a+b)=\sin a \cos b+\sin b\cos a\).

    \[ 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)=4\left (\sin\left (\dfrac{1}{2}x\right )\times \cos(\dfrac{\pi}{6}\right )+\sin\left (\dfrac{\pi}{6})\times\cos\left (\dfrac{1}{2}x\right )\right )\]\[ 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)=4\left (\sin\left (\dfrac{1}{2}x\right )\times \dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac{1}{2}\times\cos\left (\dfrac{1}{2}x\right )\right )\]\[ 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)=2\cos \left (\dfrac{1}{2}x\right )+2\sqrt 3 \sin \left (\dfrac{1}{2}x\right )=f(x)\]

    pour tout nombre réel \(x,~f(x) = 4 \sin \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\).

    1. En utilisant l'équation différentielle (E), expliquer comment on peut obtenir la représentation graphique de \(f''\), dérivée seconde de \(f\), à partir de celle de \(f\).

    2. \(f\) est une solution de \((E)\), donc \(f'' +\dfrac{1}{4}f = 0 \) ou encore \(f'' =-\dfrac{1}{4}f \)
      Donc si \(M(x,y) \in C_f\) alors \(y=f(x) \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}y=-\dfrac{1}{4} f(x) \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}y=f''(x)\)
      Ce qui signifie que le point \(M_1(x;-\frac{y}{4})\) est sur la représentation graphique de la fonction \(f''\).

      Pour tout \(M(x,y) \) de \( C_f\), on construit le point \(M_1(x;-\frac{y}{4})\) sur la représentation graphique de la fonction \(f''\).

    3. Ci-dessous est tracée la représentation graphique de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~4\pi]\). Tracer la représentation de \(f''\) sur ce même graphique et sur ce même intervalle.

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