DM08 TS2 Nombres complexes : le corrigé

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Exercice 1

 


On se propose de résoudre l'équation : \(\quad z^4 + 7 + 24\text{i} = 0\) (E).

  1. Soit \(z_0 = 2 - \text{i}\). Montrer que l'équation est équivalente à \(z^4 - z_0^4 = 0\) .
  2. On a les équivalences suivantes: \begin{align*} z^4-z_0^4&=z^4- \left( \left(2 - \text{i}\right)^2\right)^2\\ \iff\qquad z^4-z_0^4 &= z^4- \left(3 - 4\text{i}\right)^2\\ \iff\qquad z^4-z_0^4 &= z^4-( -7-24\text{i})\\ \iff\qquad z^4-z_0^4 &=z^4 + 7 + 24\text{i} \end{align*}
    L'équation \(~~ z^4 + 7 + 24\text{i} = 0~~\) est bien équivalente à \(z^4 - z_0^4 = 0\) .
  3. Écrire \(z^4 - z_0^4\) sous la forme d'un produit de 4 polynômes de degré 1 et en déduire les solutions de l'équation (E).
  4. On a \begin{align*} z^4 - z_0^4&=(z^2 - z_0^2)(z^2 + z_0^2)\\ &=(z^2 - z_0^2)(z^2 -(\text{i} z_0)^2)\\ &=(z - z_0)(z + z_0)(z -\text{i} z_0)(z -\text{i} z_0)\\ \end{align*} L'équation \(~~ z^4 + 7 + 24\text{i} = 0~~\) est équivalente à \((z - z_0)(z + z_0)(z -\text{i} z_0)(z -\text{i} z_0)=0\)
    L'équation (E) a donc quatre solutions : \(2 - \text{i}\), \(-2 + \text{i}\), \(1 +2 \text{i}\) et \(-1 -2 \text{i}\)
  5. Montrer que les images des solutions, dans le plan complexe, sont les sommets d'un carré.
  6. Un dessin pour commencer :

    Nommons \(A, B , C\) et \(D\) les points d'affixes respectives \(a=2 - \text{i}\),\(b=1 +2 \text{i}\), \(c=-2 + \text{i}\), et \(d=-1 -2 \text{i}\).
    • Etape 1 :
      \(z_{\vec{AB} }=z_B-z_A= b-a=1 +2 \text{i}-( 2 - \text{i})= 1 +2 \text{i}- 2 + \text{i} = -1+3\text{i}\)
      \(z_{\vec{DC} }=z_C-z_D= c-d=-2 + \text{i} -( -1 -2 \text{i})= -2 + \text{i} +1 +2 \text{i}) = -1+3\text{i}\)
      On a donc \(z_{\vec{AB} }= z_{\vec{DC}}\), ce qui prouve que \(\vec{AB}= \vec{DC}\), et donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
    • Etape 2 :
      On a déjà \(z_{\vec{AB} }= -1+3\text{i}\) donc \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \(\coordp{-1}{3}\)
      \(z_{\vec{BC} }=z_C-z_B= c-b=-2 + \text{i}-( 1 +2 \text{i})= -2 + \text{i}- 1 -2 \text{i} = -3-\text{i}\) donc \(\vec{BC}\) a pour coordonnées \(\coordp{-3}{-1}\)
      \(\vv{AB} \cdot \vv{BC} = XX'+YY' = -1 \times (-3) + 3\times (-1) =3 -3 =0\) \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} =0\), ce qui montre que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \( \vec{BC}\) sont orthogonaux et donc le parallélogramme \(ABCD\) ayant un angle droit est un rectangle.
    • Etape 3 :
      On a \(AB=|z_B-z_A|=|-1+3\text{i}|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
      On a \(BC=|z_C-z_B|=| -3-\text{i}|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)
      On a donxc \(AB= BC= \sqrt{10}\)
      Le rectangle \(ABCD\) a donc deux côtés cosécutifs de même longueur, cest donc un carré.

    Exercice 2


    1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \(2Z^2-Z-1=0\)
    2. Nous avons une équation du second degré, calculons son discriminant : \(\Delta=b^2-4ac=\cdots=9=3^2\) Le discriminant étant positif, l'équation a deux solutions réelles :
      \(Z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\cdots=1 \) et \(Z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\cdots=-\dfrac{1}{2}\)
    3. Soit \(P(z)\) le polynôme de la variable complexe \(z\) tel que : \(P(z) = 2z^4-z^3 + 3 z^2 - z + 2.\)
      1. Vérifier que pour tout nombre complexe \(z\neq 0\) , on a: \(\dfrac{P(z)}{z^2} = 2\left(z+\dfrac1z\right)^2-\left(z+\dfrac1z\right) -1.\)
      2. Pour tout nombre complexe \(z\neq 0\) , on a: \begin{align*} 2\left(z+\dfrac1z\right)^2-\left(z+\dfrac1z\right) -1 &=2\left(z^2+2+\dfrac{1}{z^2}\right)-\left(z+\dfrac1z\right) -1\\ &=2z^2+4+\dfrac{2}{z^2}-z-\dfrac1z -1\\ &=2z^2-z+3-\dfrac1z +\dfrac{2}{z^2}\\ &=\dfrac{ 2z^4-z^3 + 3 z^2 - z + 2}{z^2}\\ &=\dfrac{P(z)}{z^2} \end{align*} On a donc prouvé que \(\qquad \dfrac{P(z)}{z^2}=2\left(z+\dfrac1z\right)^2-\left(z+\dfrac1z\right) -1\)
      3. En utilisant ce qui précède, résoudre l'équation \(P(z)=0\).
      4. Remarquons que \(z = 0\) n'est pas une solution de \(P(z)=0\) car \(P(0)=2\) donc résoudre l'équation \(P(z)=0\) revient à résoudre \(\dfrac{P(z)}{z^2} = 0\)
        Or l'équation \(~~\dfrac{P(z)}{z^2} = 0~~\) s'écrit \(~~2Z^2-Z-1=0~~\) (1) avec \(Z = z+\dfrac1z\)
        et l'équation (1) est équivalente à \(~~Z = 1~~\) ou \(~~Z =-\dfrac{1}{2}~~\)
        donc l'équation \(~~\dfrac{P(z)}{z^2} = 0~~\) est équivalente à:\[ z+\dfrac1z = 1 \text { ou } z+\dfrac1z=-\dfrac12\]
        \(z+\dfrac1z = 1 \iff  z^2-z+1 = 0 \)
        Le discriminant vaut \(\Delta=\cdots=-3 =\left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2\) il est négatif, l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées: \(z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\cdots=\dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2} \) et \(z_2=\overline{z_1}=\dfrac{1-\text{i}\sqrt{3}}{2}\)
                     \(z+\dfrac1z=-\dfrac12\iff 2z^2+z+2=0 \)
        Le discriminant vaut \(\Delta=\cdots=-15 =\left(\text{i}\sqrt{15}\right)^2\) il est négatif, l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées: \(z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\cdots=\dfrac{-1+\text{i}\sqrt{15}}{4} \) et \(z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-1-\text{i}\sqrt{15}}{4}\)
        L'équation \(P(z) = 0\) a donc 4 solutions dans \(\mathbb C\) : \(\dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}\), \(\dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}\), \(\dfrac{-1+\text{i}\sqrt{15}}{4} \) et \(\dfrac{-1-\text{i}\sqrt{15}}{4} \)

    Exercice 3: facultatif

    1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \(\quad z^2-2z+2=0\)
    2. \(\Delta=\cdots=-4 =\left(2\text{i}\right)^2\) il est négatif, l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées:
      \(z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\cdots=1+\text{i}\) et \(z_2=\overline{z_1}=1-\text{i}\)
    3. En déduire les solutions dans \(\mathbb C\) de l'équation \((-\text{i} z+3\text{i}+3)^2-2(-\text{i} z+3\text{i}+3)+2=0\)
    4. On considère l'équation \(\qquad(-\text{i} z+3\text{i}+3)^2-2(-\text{i} z+3\text{i}+3) z+2=0\) (E) Posons \(Z=-\text{i} z+3\text{i}+3\), l'équation devient \(\qquad Z^2-2Z+2=0\) or elle a pour solutions \(1+\text{i}\) et \(1-\text{i}\). L'équation (E) est donc équivalente à \(Z=1+\text{i}\) ou \(Z=1-\text{i} \)
        \begin{align*} Z & = 1+\text{i} \\-\text{i} z+3\text{i}+3&=1+\text{i}\\ -\text{i} z&=-2-2\text{i}\\ z&=\text{i}(-2-2\text{i})\\ z&=2-2\text{i} \end{align*} \begin{align*} Z & = 1-\text{i} \\-\text{i} z+3\text{i}+3&=1-\text{i}\\ -\text{i} z&=-2-4\text{i}\\ z&=\text{i}(-2-4\text{i})\\ z&=4-2\text{i} \end{align*}
      L'équation \((-\text{i} z+3\text{i}+3)^2-2(-\text{i} z+3\text{i}+3)+2=0\) a donc 2 solutions dans \(\mathbb C\) : \(2-2\text{i}\), et \(4-2\text{i} \)

    Exercice 4: facultatif

    L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? justifier votre réponse \(z\) et \(z'\) étant deux complexes,
    \(\quad z^2+z'^2=0\) équivaut à \(z=0\) et \(z'=0\)

    On peut remarquer que \(1^2+\text{i}^2=0\) or \(1\neq 0\) et \(\text{i}\neq 0\) donc l'affirmation est fausse.
    L'affirmation est vraie dans \(\mathbb R\) car dans \(\mathbb R\) un carré n'est jamais strictement négatif.

     

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