Primitives

IPrimitives d'une fonction continue

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction définie sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).
On appelle primitive de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\) toute fonction \(\displaystyle{F}\) dérivable sur \(\displaystyle{I}\) qui vérifie :
\[\forall x \in I \text{ , } F'(x) = f(x)\]
  • Toute fonction continue sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) admet des primitives sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{F}\) est une primitive de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\), alors les primitives de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\) sont de la forme : \(\displaystyle{F(x) + k}\), pour tout réel \(\displaystyle{k}\).

IILes primitives des fonctions usuelles

Soit un entier \(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{k}\) un réel ; la fonction \(\displaystyle{F}\) est une primitive de \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f(x)}\)\(\displaystyle{F(x)}\)\(\displaystyle{I}\)
\(\displaystyle{k}\)\(\displaystyle{kx}\)\(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) \(\displaystyle{\frac{x^{n+1}}{n+1}}\) si \(\displaystyle{n \geqslant 1 : \mathbb{R}}\)

si \(\displaystyle{n \leqslant - 2 : ]- \infty ; 0[}\) et \(\displaystyle{]0 ; + \infty[}\)
\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{ x } }\) \(\displaystyle{]0 ; + \infty[}\)
\(\displaystyle{\frac{1}{x}}\) \(\displaystyle{\ln(x)}\)\(\displaystyle{]0 ; + \infty[}\)
\(\displaystyle{e^{x}}\)\(\displaystyle{e^{x}}\)\(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin(x)}\)\(\displaystyle{- \cos(x)}\)\(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\cos(x)}\)\(\displaystyle{\sin(x)}\)\(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin(ax+b)}\) \(\displaystyle{-\frac{1}{a}\cos(ax+b)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)
\(\displaystyle{\cos(ax+b)}\) \(\displaystyle{\frac{1}{a}\sin(ax+b)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)

IIIOpérations et primitives

Soit un entier \(\displaystyle{n}\) différent de \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{- 1}\). On désigne par \(\displaystyle{u}\) et \(\displaystyle{v}\) deux fonctions dérivables sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\) ; la fonction \(\displaystyle{F}\) est une primitive de \(\displaystyle{f}\) sur l’intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f}\)\(\displaystyle{F}\)Conditions
\(\displaystyle{u'u^{n}}\) \(\displaystyle{\frac{u^{n+1}}{n + 1}}\) si \(\displaystyle{n \leqslant - 2 : u(x) \neq 0}\)
\(\displaystyle{\frac{u’}{u}}\) \(\displaystyle{\ln(u)}\)\(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{\frac{u’}{\sqrt{u}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{ u }}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{u'e^{u}}\)\(\displaystyle{e^{u}}\)
\(\displaystyle{u'\sin(u)}\)\(\displaystyle{- \cos(u)}\)
\(\displaystyle{u'\cos(u)}\)\(\displaystyle{\sin(u)}\)

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