Estimation

ILe théorème de Moivre-Laplace

Soit \(\displaystyle{X_n}\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}\), on définit la variable aléatoire \(\displaystyle{Z_n}\) par :
\[ Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \] Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)), on a alors :
\[ \lim_{n \to +\infty} P(a \leqslant Z_n \leqslant b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt \]
Cela signifie que si \(\displaystyle{n}\) est très grand, on peut approximer une loi binomiale par la loi normale centrée réduite.

IILes intervalles de fluctuation

Soient \(\displaystyle{Z}\) une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, \(\displaystyle{\alpha}\) un réel de \(\displaystyle{]0;1[}\) et \(\displaystyle{u_{\alpha}}\) l'unique réel positif tel que \(\displaystyle{P(-u_{\alpha} \leqslant Z \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha}\).
Si \(\displaystyle{X_n}\) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}\), on pose :
\[ I_n = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \] et on a alors :
\[ \lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right) = 1-\alpha \] L'intervalle \(\displaystyle{I_n}\) est appelé intervalle de fluctuation de \(\displaystyle{\frac{X_n}{n}}\) au seuil \(\displaystyle{1-\alpha}\), si les conditions suivantes sont satisfaites :
\[ n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5 \]
Dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès \(\displaystyle{p}\) est connue.
En particulier, pour \(\displaystyle{\alpha = 0,05}\), \(\displaystyle{\left[ p - 1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + 1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]}\) est un intervalle de fluctuation au seuil de \(\displaystyle{95\%}\) de la fréquence d'apparition d'un caractère dans un échantillon aléatoire de taille \(\displaystyle{n}\) (à condition d'avoir \(\displaystyle{n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5}\)).

IIILes intervalles de confiance

On considère une expérience de Bernoulli dont on veut estimer la probabilité de succès \(\displaystyle{p}\). On appelle \(\displaystyle{f_n}\) la fréquence d'apparition du succès après \(\displaystyle{n}\) répétitions indépendantes. Si \(\displaystyle{n \geqslant 30}\), \(\displaystyle{nf_n \geqslant 5}\) et \(\displaystyle{n(1-f_n) \geqslant 5}\), alors \(\displaystyle{p}\) appartient à l'intervalle suivant avec un niveau de confiance de \(\displaystyle{95\%}\) :
\[ \left[ f_n - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \]
Dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès \(\displaystyle{p}\) est inconnue.

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