Nombres complexes

ILa notion de nombre complexe

AL'ensemble des nombres complexes

On appelle \(\displaystyle{i}\) le nombre (non réel) dont le carré est égal à \(\displaystyle{- 1}\) :
\[ i^2 = -1 \]
Un nombre complexe est un nombre \(\displaystyle{z}\) qui peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle{z = x + iy}\), avec \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) deux réels.
L'ensemble des nombres complexes est désigné par \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) .
Les nombres suivants sont des complexes : \(\displaystyle{4 - 2i}\), \(\displaystyle{12}\), \(\displaystyle{5i}\).
Les opérations dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) obéissent aux mêmes règles de calcul que dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

BLa forme algébrique

L'écriture \(\displaystyle{z = x + iy}\) est appelée forme algébrique de \(\displaystyle{z}\). Elle est unique.

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\) :

  • on appelle partie réelle de \(\displaystyle{z}\), notée \(\displaystyle{\text{Re}(z)}\), le réel \(\displaystyle{x}\) ;
  • on appelle partie imaginaire de \(\displaystyle{z}\), notée \(\displaystyle{\text{Im}(z)}\), le réel \(\displaystyle{y}\).
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
  • Le nombre \(\displaystyle{z}\) est réel si et seulement si \(\displaystyle{\text{Im}(z) = 0}\).
  • Le nombre \(\displaystyle{z}\) est imaginaire pur si et seulement si \(\displaystyle{\text{Re}(z) = 0}\).
Soit \(\displaystyle{z}\) un nombre complexe non nul, il existe un unique nombre complexe \(\displaystyle{z'}\) tel que \(\displaystyle{zz' = 1}\).
Ce nombre est l'inverse de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{\frac{1}{z}}\).

CLe conjugué et le module

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\).
On appelle conjugué de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{\overline{z}}\), le complexe : \[x - iy\]
\(\displaystyle{\overline{2 - 2i} = 2 + 2i}\)

\(\displaystyle{\overline{4i} = -4i}\)

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z'}\) deux nombres complexes.

  • \(\displaystyle{\overline{\overline{z}} = z}\)
  • \(\displaystyle{z + \overline{z} = 2 \text{Re}(z)}\)
  • \(\displaystyle{z - \overline{z} = 2i \text{ Im}(z)}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = \overline{z}}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = - \overline{z}}\)
  • \(\displaystyle{\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}}\)
  • \(\displaystyle{\overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}}\)
  • Si \(\displaystyle{z'}\) non nul : \(\displaystyle{\overline{ \left( \frac{z}{z’} \right) } = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}}\)
  • Pour tout entier \(\displaystyle{n}\) : \(\displaystyle{\overline{z^n} = (\overline{z})^{n}}\)
Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\).
On appelle module de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{|z|}\), le réel : \[\sqrt{ x^{2} + y^{2} }\]
\(\displaystyle{|1 + 2i| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{|-3i| = \sqrt{0^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3}\)

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z’}\) deux nombres complexes.

  • \(\displaystyle{z \overline{z} = |z|^{2}}\)
  • \(\displaystyle{|z| = |\overline{z}|}\)
  • \(\displaystyle{|z| = |- z|}\)
  • \(\displaystyle{|zz'| = |z| \times |z'|}\)
  • Si \(\displaystyle{z'}\) non nul : \(\displaystyle{\left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{|z|}{|z'|}}\)
  • Pour tout entier \(\displaystyle{n}\) : \(\displaystyle{|z^{n}| = |z|^{n}}\)

DLa représentation analytique

Soit un repère orthonormal direct du plan \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )}\).
A tout point \(\displaystyle{M}\) de coordonnées \(\displaystyle{(x ; y)}\) on associe le nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\) :

  • le nombre complexe \(\displaystyle{z}\) est appelé affixe du point \(\displaystyle{M}\) (et du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{OM}}\)) ;
  • le point \(\displaystyle{M}\) est appelé image du nombre complexe \(\displaystyle{z}\).
    On définit ainsi le plan complexe.
TS01308-01.PNG
Les points \(\displaystyle{M}\) et \(\displaystyle{M'}\), images respectives des nombres complexes \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{\overline{z}}\) dans le plan complexe, sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
TS01308-02.PNG
Le module \(\displaystyle{|z|}\) du nombre complexe \(\displaystyle{z}\), affixe du point \(\displaystyle{M}\), est égal à la distance \(\displaystyle{OM}\).
TS01308-03.PNG

IILes équations dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

ARésoudre une équation dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

On résout une équation dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) à l'aide des mêmes techniques de calcul que dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

BLes équations du second degré

Soit un trinôme du second degré à coefficients réels (\(\displaystyle{a \neq 0}\)) \(\displaystyle{az^{2} + bz + c}\), avec \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\).
Ce trinôme admet deux racines complexes :
\[z_{1} = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]\[z_{2} = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]

IIILes formes trigonométrique et exponentielle

ALa forme trigonométrique

On appelle argument de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{\arg(z)}\) la mesure en radians de l'angle orienté \(\displaystyle{(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM})}\) :
\[\arg(z) = (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}) [2\pi]\]
TS01308-04.PNG

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z}\) non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\). On peut alors exprimer \(\displaystyle{z}\) sous sa forme trigonométrique :
\[z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]
Réciproquement, si \(\displaystyle{z = r (\cos(\theta) + i\sin(\theta))}\), avec \(\displaystyle{r \gt 0}\) et \(\displaystyle{\theta}\) réel quelconque, alors :
\[|z| = r\]\[\arg(z) = \theta\]
Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont même module et même argument.

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z'}\) deux nombres complexes non nuls.

  • \(\displaystyle{\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z')}\)
  • \(\displaystyle{\arg( \frac{1}{z} ) = - \arg(z)}\)
  • \(\displaystyle{\arg( \frac{z}{z'} ) = \arg(z) - \arg(z')}\)
  • Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) : \(\displaystyle{\arg(z^{n}) = n \arg(z)}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg(z) = 0 [2\pi]}\) ou \(\displaystyle{\arg(z) = \pi [2\pi]}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg(z) = \frac{\pi}{2} [2\pi]}\) ou \(\displaystyle{\arg(z) = - \frac{\pi}{2} [2\pi]}\)

BLa forme exponentielle

Pour tout réel \(\displaystyle{\theta}\), on pose :
\[e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\]
Attention, une exponentielle complexe peut être négative, par exemple \(\displaystyle{e^{i\pi} = -1}\).
Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z}\) non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\). On peut alors exprimer \(\displaystyle{z}\) sous sa forme exponentielle :
\[z = |z| e^{i\theta}\]
Réciproquement, si \(\displaystyle{z = re^{i\theta}}\), avec \(\displaystyle{r \gt 0}\) et \(\displaystyle{\theta}\) réel quelconque, alors :
\[|z| = r\]\[arg(z) = \theta\]

Soient \(\displaystyle{\theta}\) et \(\displaystyle{\theta'}\) deux réels.

  • \(\displaystyle{\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}}\)
  • \(\displaystyle{e^{i(\theta+\theta')} = e^{i\theta} e^{i\theta'}}\)
  • \(\displaystyle{\frac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}}\)
  • Pour tout entier \(\displaystyle{n}\) : \(\displaystyle{(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}}\)

CL'interprétation géométrique

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :
\[AB = |z_{B} - z_{A}|\]
Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :
\[(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}) = \arg(z_{B} - z_{A})\]
Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{1}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{2}}}\) deux vecteurs non nuls d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{1}}\) et \(\displaystyle{z_{2}}\) :
\[(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}) = \arg\left( \frac{z_{2}}{z_{1}} \right)\]
Soient \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) et \(\displaystyle{C}\) trois points distincts d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\), \(\displaystyle{z_{B}}\) et \(\displaystyle{z_{C}}\) :
\[(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}) = \arg\left( \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} \right)\]
 

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