Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats



Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(]0~;~+\infty[\) par \[f(x)=\text{e} ^{-x}\quad \text{ et }\quad g(x) = \dfrac{1}{x^2} \text{e} ^{-\frac{1}{x}}.\]On admet que \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(]0~;~+\infty[\). On note \(f'\) et \(g'\) leurs fonctions dérivées respectives. Les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) dans un repère orthogonal, nommées respectivement \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sont données ci-dessous:
NC Ex1

Partie A -- Conjectures graphiques


Dans chacune des questions de cette partie, aucune explication n'est demandée.

  1. Conjecturer graphiquement une solution de l'équation \(f(x)=g(x)\) sur \(]0~;~+\infty[\).
  2. Conjecturer graphiquement une solution de l'équation \(g'(x)=0\) sur \(]0~;~+\infty[\).

 

Partie B -- Étude de la fonction \(g\)

 

  1. Calculer la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
  2. On admet que la fonction \(g\) est strictement positive sur \(]0~;~+\infty[\). Soit \(h\) la fonction définie sur \(]0~;~+\infty[\) par \(h(x)=\ln\left ( g(x) \strut\right )\).
    1. Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\) strictement positif, \[h(x)= \dfrac{-1-2x\ln x}{x}.\]
    2. Calculer la limite de \(h(x)\) quand \(x\) tend vers 0.
    3. En déduire la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers 0.
  3. Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\) strictement positif, \[g'(x)= \dfrac{\text{e} ^{-\frac{1}{x}}\left (1-2x \strut\right )}{x^4}.\]
  4. En déduire les variations de la fonction \(g\) sur \(]0~;~+\infty[\).

 

Partie C -- Aire des deux domaines compris entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\)

 

  1. Démontrer que la point A de coordonnées \(\left (1~;~\text{e} ^{-1}\strut\right )\) est un point d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
    On admet que ce point est l'unique point d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\), et que \(\mathcal{C}_f\) est au dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur l'intervalle \(]0~;~1[\) et en dessous sur l'intervalle \(]1~;~+\infty[\).
  2. Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. Démontrer que \[\displaystyle\int_{a}^{b} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \text{d} x = \text{e} ^{-a} + \text{e} ^{-\frac{1}{a}} - \text{e} ^{-b} - \text{e} ^{-\frac{1}{b}}.\]
  3. Démontrer que \[\displaystyle\lim_{a\to 0} \displaystyle\int_{a}^{1} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \text{d} x =1-2\text{e} ^{-1}.\]
  4. On admet que \[\displaystyle\lim_{a\to 0} \displaystyle\int_{a}^{1} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \text{d} x =\displaystyle\lim_{b\to +\infty} \displaystyle\int_{1}^{b} \left ( g(x)-f(x)\strut\right ) \text{d} x .\]Interpréter graphiquement cette égalité.

 

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