Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018

 

 

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats


Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1er janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1er janvier 2010, 64 % des ménages l'étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0 ; + \infty[\) par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\]où \(k\) et \(a\) sont deux constantes réelles positives et la variable \(t\) désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1er janvier 2000.

  1. Déterminer les valeurs exactes de \(k\) et de \(a\) pour que \(g(0) = \dfrac{1}{8}\) et \(g(10) = \dfrac{64}{100}\).
  2. Dans la suite, on prendra \(k = 7\) et \(a = 0,25\). La fonction \(g\) est donc définie par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]
    1. Montrer que la fonction \(g\) est croissante sur l'intervalle \([0 ; + \infty[\).
    2. Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99 % des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
    1. Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1er janvier 2018.
    2. Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction \(g\) de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1000 foyers, \(880\) étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.)

 

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