Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) données en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\), de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0~;~+ \infty[\). On considère les points A(0,5 ; 1) et B\((0 ; -1)\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\). On sait que O appartient à \(\mathcal{C}_f\) et que la droite (OA) est tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point O.

  1. On suppose que la fonction \(f\) s'écrit sous la forme \(f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x^2}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels \(a\) et \(b\), en détaillant la démarche.
  2. Désormais, on considère que \(f(x) = 2x\text{e}^{- x^2}\) pour tout \(x\) appartenant à \([0~;~+ \infty[\)

    1. On admettra que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).
    2. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0~;~+ \infty[\).
  3. La fonction \(g\) dont la courbe représentative \(\mathcal{C}_g\) passe par le point B\((0~;~-1)\) est une primitive de la fonction \(f\) sur \([0~;~+ \infty[\).
    1. Déterminer l'expression de \(g(x)\).
    2. Soit \(m\) un réel strictement positif. Calculer \(I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\:\text{d}t\) en fonction de \(m\).
    3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m\).
    1. Justifier que \(f\) est une fonction densité de probabilité sur \([0~;~+ \infty[\).
    2. Soit \(X\) une variable aléatoire continue qui admet la fonction \(f\) comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel \(x\) de \([0~;~+ \infty[\), \(P(X \leqslant x) = g(x) + 1\).
    3. En déduire la valeur exacte du réel \(\alpha\) tel que \(P(X \leqslant \alpha) = 0,5\).
    4. Sans utiliser une valeur approchée de \(\alpha\), construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées \((\alpha~;~0)\) en laissant apparents les traits de construction. Hachurer ensuite la région du plan correspondant à \(P(X \leqslant \alpha)\).

Annexe de l'exercice 1

 

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