Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016

 

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats


On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par \[f(x) = x\text{e}^{- x} - 0,1.\]

  1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+ \infty\).
  2. Étudier les variations de \(f\) sur \([0~;~+ \infty[\) et dresser le tableau de variations.
  3. Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution notée \(\alpha\) sur l'intervalle [0 ; 1].

  4. On admet l'existence du nombre réel strictement positif \(\beta\) tel que \(\alpha < \beta\) et \(f(\beta) = 0\).
    On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([\alpha~;~\beta]\) dans un repère orthogonal et \(\mathcal{C}'\) la courbe symétrique de \(\mathcal{C}\) par rapport à l'axe des abscisses.
    L'unité sur chaque axe représente 5 mètres.
    Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

  5. Démontrer que la fonction \(F\), définie sur l'intervalle \([\alpha~;~\beta]\) par \[F(x) = -(x + 1)\text{e}^{- x} - 0,1x\]est une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([\alpha~;~\beta]\).
  6. Calculer, en unités d'aire, une valeur arrondie à \(0,01\) près de l'aire du domaine compris entre les courbes \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\). On utilisera les valeurs arrondies à \(0,001\) près suivantes : \(\alpha \approx 0,112\) et \(\beta \approx 3,577\).
  7. Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif.

 

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