Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2016

 

 

Exercice 1 6 points

Le plan est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\). Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels \(\mathbb R\) par \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.\]On désigne par \(\mathcal{C}_n\) la courbe représentative de \(f_n\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\). On a représenté ci-dessous les courbes \(\mathcal{C}_n\) pour différentes valeurs de \(n\). Soit la suite \(\left(u_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\]Figure

Partie A - Étude graphique

  1. Donner une interprétation graphique de \(u_n\).
  2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite \(\left(u_n\right)\) ?
  3. Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de \(u_4\) d'amplitude \(0,05\).

Partie B - Étude théorique

  1. Montrer que \(u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)\).
  2. Montrer que \(u_0 + u_1 = 1\) puis en déduire \(u_1\).
  3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\),\: \(u_n \geqslant 0\).
  4. On pose pour tout entier naturel \(n\) et pour tout \(x\) réel, \(d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)\).
    1. Montrer que, pour tout nombre réel \(x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\).
    2. Étudier le signe de la fonction \(d_n\) sur l'intervalle [0~;~1].
  5. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
  6. On note \(\ell\) la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
    1. Montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.\]
    2. En déduire la valeur de \(\ell\).
    3. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de \(u_N\) pour un entier naturel \(N\) non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l'algorithme suivant. \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :} &N \text{ est un entier naturel non nul}\\ \text{Variables :} &U \text{ est un nombre réel }\\ &K \text{ est un entier naturel }\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter 1 à } K\\ &\text{ Affecter } 1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right) \text{ à } U\\ &\text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N\\ \text{Traitement :} & \text{ Tant que } K < N\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } U\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } K\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}\]

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