Baccalauréat S Asie 23 juin 2016

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises. Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: production de fraises

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45% dans la serre B. Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

  • Proposition 1:
    La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.
  • Proposition 2:
    On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit. La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

Partie B: conditionnement des fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale d'espérance \(\mu=250\) et d'écart-type \(\sigma\). La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) est donnée ci-après:

  1. On donne \(P(X \leqslant237)=0,14\). Calculer la probabilité de l'évènement « la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes ».
  2. On note \(Y\) la variable aléatoire définie par: \(Y=\dfrac{X-250}{\sigma}\).
    1. Quelle est la loi de la variable aléatoire \(Y\)?
    2. Démontrer que \(P\left ( Y \leqslant- \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14\).
    3. En déduire la valeur de \(\sigma\) arrondie à l'entier.
  3. Dans cette question, on admet que \(\sigma\) vaut 12. On désigne par \(n\) et \(m\) deux nombres entiers.
    1. Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle \(\texttt{[} 250-n~;~250+n \texttt{]}\). Déterminer la plus petite valeur de \(n\) pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.
    2. On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle \(\texttt{[} 230~;~m\texttt{]}\). Déterminer la plus petite valeur de \(m\) pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.

 

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