Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015

  

Exercice 1 7 points


Commun à tous les candidats


Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à 6,5 mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est très peu calcaire.
Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A


L'eau minérale provient de deux sources, notées «source A »  et «source B ». La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A soit très peu calcaire est \(0,17\). La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B soit très peu calcaire est \(0,10\).
La source A fournit 70% de la production quotidienne totale des bouteilles d'eau et la source B le reste de cette production.
On prélève au hasard une bouteille d'eau dans la production totale de la journée. On considère les évènements suivants : \(A\) :«La bouteille d'eau provient de la source A » \(B\) :«La bouteille d'eau provient de la source B » \(S\) :«L'eau contenue dans la bouteille d'eau est très peu calcaire ».

  1. Déterminer la probabilité de l'évènement \(A \cap S\).
  2. Montrer que la probabilité de l'évènement \(S\) vaut \(0,149\).
  3. Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu'elle est très peu calcaire.
  4. Le lendemain d'une forte pluie, l'usine prélève un échantillon de 1000 bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, \(211\) contiennent de l'eau très peu calcaire. Donner un intervalle permettant d'estimer au seuil de 95 % la proportion de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire sur l'ensemble de la production de la source A après cette intempérie.

 

Partie B


On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A, associe le taux de calcium de l'eau qu'elle contient. On suppose que \(X\) suit la loi normale de moyenne \(8\) et d'écart-type \(1,6\). On note \(Y\) la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B, associe le taux de calcium qu'elle contient. On suppose que \(Y\) suit la loi normale de moyenne \(9\) et d'écart-type \(\sigma\).

  1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d'une journée de la source A soit compris entre \(6,4\) mg et \(9,6\) mg.
  2. Calculer la probabilité \(p(X \leqslant 6,5)\).
  3. Déterminer \(\sigma\) sachant que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B contienne de l'eau très peu calcaire est \(0,1\).

 

Partie C


Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan. La forme de ces étiquettes est délimitée par l'axe des abscisses et la courbe \(\mathcal{C}\) d'équation \(y = a\cos x\) avec \(x \in \left[- \frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right]\) et \(a\) un réel strictement positif.
Un disque situé à l'intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées \(\left(0~;~\frac{a}{2}\right)\) et de rayon \(\frac{a}{2}\). On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe \(\mathcal{C}\) pour des valeurs de \(a\) inférieures à \(1,4\).

  1. Justifier que l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation \(x = - \frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{\pi}{2}\), et la courbe \(\mathcal{C}\) est égale à \(2a\) unités d'aire.
  2. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel \(a\) pour respecter cette contrainte ?

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