Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On considère les nombres complexes \(z_n\) définis, pour tout entier naturel \(n\), par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\]On note \(A_n\) le point d'affixe \(z_n\) dans le repère orthonormé\(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points \(A_n\).

    1. Vérifier que \(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\).
    2. \[\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+\text{i} \sin \dfrac{\pi}{6}\right) \\\\
      &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}\right) \\\\
      &=1+\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}} \\\\
      &=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}
      \end{align*}\]
      \(\quad\)
    3. En déduire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme exponentielle.
    4. \(z_1 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times 1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}\)
      \(z_2 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}\right)^2 =\dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
      \(\quad\)
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
    2. Montrons ce résultat par récurrence sur \(n\).
      Initialisation : Si \(n=0\) alors \(z_0=1\) et \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^0\text{e}^{\text{i}\times 0}=1\).
      La propriété est donc vraie au rang \(0\).
      \(\quad\)
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) : \(z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}\)
      \(\begin{align*} z_{n+1} &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
      &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}} \\\\
      &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1}\text{e}^{\text{i} (n+1)\frac{\pi}{6}}
      \end{align*}\)
      La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Donc, pour tout entier naturel \(n\), on a \(z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}\)
      \(\quad\)
    3. Pour quelles valeurs de \(n\), les points O, \(A_0\) et \(A_n\) sont-ils alignés ?
    4. \(O\), \(A_0\) et \(A_n\) sont alignés si, et seulement si, \(A_n\) est sur l’axe des réels
      si, et seulement si, \(z_n\) est réel
      si, et seulement si, \(n\dfrac{\pi}{6} =k\pi\) avec \(k\in \mathbb Z\)
      si, et seulement si, \(n\) est un multiple de \(6\)
      \(\quad\)
  1. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|\).
    1. Interpréter géométriquement \(d_n\).
    2. \(d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right| = A_nA_{n+1}\)
      \(d_n\) est donc la distance séparant les points \(A_{n+1}\) et \(A_n\).
      \(\quad\)
    3. Calculer \(d_0\).
    4. \(d_0=\left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right|\) \(=\left|\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|\) \(=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
      \(\quad\)
    5. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
    6. Pour tout entier naturel \(n\) non nul,
      \(\begin{align*} z_{n+2}-z_{n+1} &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_{n+1}-\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
      &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right)
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    7. En déduire que la suite \(\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}\) est géométrique puis que pour tout entier naturel \(n\), \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
    8. Par conséquent :
      \(\begin{align*} d_{n+1} &=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right| \\\\
      &=\left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right) \right| \\\\
      &= \left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right| \times \left|z_{n+1}-z_{n}\right| \\\\
      &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}d_n
      \end{align*}\)
      La suite \(\left(d_n\right)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) et de premier terme \(d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
      Ainsi, pour tout entier naturel \(n\) on a \(d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\).
      \(\quad\)
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]
    2. Pour tout entier naturel \(n\) on a :
      \(\begin{align*} \left|z_n\right|^2+d_n^2 &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \\\\
      &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \\\\
      &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \dfrac{4}{3} \\\\
      &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \\\\
      &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2} \\\\
      &=\left|z_{n+1}\right|^2
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), le triangle O\(A_nA_{n+1}\) est rectangle en \(A_n\).
    4. Dans le triangle \(OA_nA_{n+1}\) on a :
      \(\begin{align*} OA_{n+1}^2 &= \left|z_{n+1}\right|^2 \\
      &= \left|z_n\right|^2+d_n^2 \\
      &=OA_n^2+A_nA_{n+1}^2
      \end{align*}\)
      D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(OA_nA_{n+1}\) est rectangle en \(A_n\).
      \(\quad\)
    5. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point \(A_5\) sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
    6. Justifier cette construction.
    7. A l’aide du compas, on trace la médiatrice de \([AO]\). Cela nous permet de tracer la droite perpendiculaire à \(\left[OA_4\right]\) passant par \(A_4\).
      A l’aide du compas, on trace la médiatrice de \(\left[OA_6\right]\). On obtient le milieu \(I\) de \(\left[OA_6\right]\).
      On trace le demi-cercle de diamètre \(\left[OA_6\right]\) situé au-dessus de l’axe des abscisses.
      Les triangles \(OA_5A_4\) et \(OA_5A_6\) étant respectivement rectangles en \(A_4\) et \(A_5\), le point \(A_5\) appartient à la médiatrice de \([AO]\) et au demi-cercle.
      \(\quad\)

 

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