Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Dans le repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)\) de l'espace, on considère pour tout réel \(m\), le plan \(P_m\) d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

  1. Pour quelle(s) valeur(s) de \(m\) le point A(\(1~;~1~;~1\)) appartient-il au plan \(P_m\) ?
  2. Si le point \(A(1;1;1)\) appartient au plan \(P_m\) alors ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
    \(\dfrac{1}{4}m^2+m-1+\dfrac{1}{2}m-3 = 0\)
    \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{3}{2}m-4=0\)
    \(\Leftrightarrow m^2 + 6m-16=0\)
    \(\Delta = 36+4\times 16 = 100>0\)
    Il y a donc deux racines réelles \(m_1 = \dfrac{-6-\sqrt{100}}{2} = -8\) et \(m_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2}=2\).
    Le point \(A\) appartient donc au plan \(P_m\) si \(m=-8\) ou si \(m=2\).
    \(\quad\)
  3. Montrer que les plans \(P_1\) et \(P_{-4}\) sont sécants selon la droite \((d)\) de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb R\]
  4. Une équation de \(P_1\) est \(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0\)
    Une équation de \(P_{-4}\) est \(4x-5y-2z-3=0\)
    \(\quad\)
    Regardons si la droite \((d)\) est bien incluse dans chacun des deux plans.
    On remplace \(x\), \(y\) et \(z\) par les équations de \((d)\) dans chacune des deux équations.
    Pour \(P_1\) : \(\dfrac{12-2t}{4}+\dfrac{1}{2}t-3 = 3-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}t-3=0\)
    Pour \(P_{-4}\) : \(4(12-2t)-5(9-2t)-2t-3=48-8t-45+10t-2t-3=0\).
    La droite \((d)\) est donc incluse dans chacun des deux plans.
    \(\quad\)
    Un vecteur normal à \(P_1\) est \(\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)\).
    Un vecteur normal à \(P_{-4}\) est \(\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)\).
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les plans sont donc sécants selon la droite \((d)\).
    \(\quad\)
    1. Montrer que l'intersection entre \(P_0\) et \((d)\) est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
    2. Une équation de \(P_0\) est \(-y-3=0\) soit \(y=-3\).
      Cherchons l’ensemble des points de \((d)\) tels que \(y=-3\).
      On résout l’équation \(9-2t=-3 \Leftrightarrow 12=2t \Leftrightarrow t=6\).
      La droite \((d)\) et le plan \(P_0\) ont donc le point \(B(0;-3;6)\) comme intersection.
      \(\quad\)
    3. Justifier que pour tout réel \(m\), le point B appartient au plan \(P_m\).
    4. Regardons si les coordonnées de \(B\) vérifient l’équation de \(P_m\) pour tout \(m\).
      \(\dfrac{1}{4}m^2 \times 0 – 3(m-1)+\dfrac{6m}{2}-3 = -3m+3+3m-3=0\)
      Donc \(B\) appartient bien à \(P_m\) pour tout réel \(m\).
      \(\quad\)
    5. Montrer que le point B est l'unique point appartenant à \(P_m\) pour tout réel \(m\).
    6. Supposons qu’il existe un autre point \(C\) commun à tous les plans \(P_m\).
      La droite \((d)\) étant l’intersection des plans \(P_1\) et \(P_{-4}\) cela signifie que ce point \(C\) appartient à \((d)\).
      Or la droite \((d)\) et le plan \(P_0\) n’ont que le point \(B\) en commun.
      Ainsi le point \(B\) est l’unique point commun à tous les plans \(P_m\).
      \(\quad\)
  5. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs \(m\) et \(m'\) tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\]On souhaite déterminer les valeurs de \(m\) et de \(m'\) pour lesquelles \(P_m\) et \(P_{m'}\) sont perpendiculaires.
    1. Vérifier que \(P_1\) et \(P_{-4}\) sont perpendiculaires.
    2. On sait que :
      – Un vecteur normal à \(P_1\) est \(\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)\).
      – Un vecteur normal à \(P_{-4}\) est \(\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)\).
      Or \(\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_{-4}} = 1 + 0-1 = 0\).
      Les plans \(P_1\) et \(P_{-4}\) sont donc perpendiculaires.
      \(\quad\)
    3. Montrer que les plans \(P_m\) et \(P_{m'}\) sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
    4. Un vecteur normal à \(P_m\) est \(\overrightarrow{n_m}\left(\dfrac{1}{4}m^2;m-1;\dfrac{m}{2}\right)\).
      b. Un vecteur normal à \(P_{m’}\) est \(\overrightarrow{n_{m’}}\left(\dfrac{1}{4}m’^2;m’-1;\dfrac{m’}{2}\right)\)
      \(P_m\) et \(P_{m’}\) sont perpendiculaires si, et seulement si, \(\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=0\)
      Or \(\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=\dfrac{\left(mm’\right)^2}{16}+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4}\).
      Par conséquent, \(P_m\) et \(P_{m’}\) sont perpendiculaires si, et seulement si, \(\left(\dfrac{mm’}{4}\right)^2+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4} = 0\).
      \(\quad\)
      Une autre méthode consiste à résoudre le système de 2 équations à 3 inconnues formé par les équations des plans \(P_1\) et \(P_{-4}\)
      En vidéo !
    5. On donne l'algorithme suivant : \[ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & m \text{ et } m' \text{ entiers relatifs} \\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de -10 à 10 }\\ &\hspace{0,5cm} \text{ Pour } m' \text{ allant de -10 à 10 } \\ &\hspace{1cm} \text{ Si } \left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\\ &\hspace{1,5cm}\text{Alors Afficher }\left(m~;~m'\right) \\ &\hspace{0,5cm}\\ &\hspace{0,5cm}\text{ Fin du Pour }\\ &\text{ Fin du Pour}\\ \hline \end{array}\]Quel est le rôle de cet algorithme?
    6. Cet algorithme fournit tous les couples \(\left(m;m’\right)\) d’entiers appartenant à \([-10;10]\) pour lesquels \(P_m\) et \(P_{m’}\) sont perpendiculaires.
      Remarque : Il fallait voir que la condition dans le test SI est équivalente à la condition vue en 4.b. (il suffit de diviser par \(16\)).
      \(\quad\)
    7. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont \((- 4~;~1)\), \((0~;~1)\) et \((5~;~- 4)\). Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
    8. Si un couple \(\left(m;m’\right)\) convient alors le couple \(\left(m’;m\right)\) convient également.
      Les six couples d’entiers sont donc \((-4;1)\), \((1;-4)\), \((0;1)\), \((1;0)\), \((5;-4)\) et \((-4;5)\).
      Ils apparaîtront dans l’ordre suivant : \((-4;1)\), \((-4;5)\), \((0;1)\), \((1;-4)\), \((1;0)\) et \((5;-4)\).
      \(\quad\)

 

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