Baccalauréat S Polynésie 9 septembre 2015

 

Exercice 1 : 7 points


Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A


On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe \(z\) est notée \(Re (z)\).

  1. Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe \(u = 1 - \text{i}\).
  2. Déterminer, pour tout réel \(\theta\), la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe \(\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})\).
  3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel \(\theta\),\(\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)\).

 

Partie B


Dans cette partie, on admet que, pour tout réel \(\theta,\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)\).
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\) par: \[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\]On définit la fonction \(h\) sur \([0~;~+ \infty[\) par \(h(x) = g(x) - f(x)\). Les représentations graphiques \(\mathcal{C}_f,\mathcal{C}_g\) et \(\mathcal{C}_h\) des fonctions \(f,g\) et \(h\) sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

  1. Conjecturer:
    1. les limites des fonctions \(f\) et \(g\) en \(+\infty\) ;
    2. la position relative de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(\mathcal{C}_g\) ;
    3. la valeur de l'abscisse \(x\) pour laquelle l'écart entre les deux courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) est maximal.
  2. Justifier que \(\mathcal{C}_g\) est située au-dessus de \(\mathcal{C}_f\) sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\).
  3. Démontrer que la droite d'équation \(y = 0\) est asymptote horizontale aux courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
    1. On note \(h'\) la fonction dérivée de la fonction \(h\) sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\). Démontrer que, pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+ \infty[\),\(h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]\).
    2. Justifier que, sur l'intervalle \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\),\(\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0\) et que, sur l'intervalle \(\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right], \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0\).
    3. En déduire le tableau de variation de la fonction \(h\) sur l'intervalle \([0~;~2\pi]\).
  4. On admet que, sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\), la fonction \(H\) définie par \[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\]est une primitive de la fonction \(h\). On note \(\mathcal{D}\) le domaine du plan délimité par les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\), et les droites d'équations \(x = 0\) et \(x = 2\pi\). Calculer l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine \(\mathcal{D}\), exprimée en unités d'aire.

 

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