Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014

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Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par \(\mathcal{C}_1\) la courbe représentative de la fonction \(f_1\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f_1(x)=x+e^{-x}\]

  1. Justifier que \(\mathcal{C}_1\) passe par le point A de coordonnées (0,1).
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction \(f_1\). Onprécisera les limites de \(f_1\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) .

Partie B

L 'objet de cette partie est d'étudier la suite \(\left (I_n\right )\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(I_n =\displaystyle\int_0^1\left (x+e^{-nx}\right )\;\text{d}x\)

  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)\), pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{C}_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f_n(x)=x+e^{-nx}\]

    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe \(\mathcal{C}_n\) pour plusieurs valeurs de l'entier \(n\) et la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(x=1\).
    1. Interpréter géométriquement l'intégrale \(I_n\).
    2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \(\left (I_n\right )\) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, \[I_{n+1} -I_n =\displaystyle\int_0^1 e^{-(n+1)x} \left( 1-e^{x}\right )\;\text{d}x\]En déduire le signe de \(I_{n+1} -I_n \) puis démontrer que la suite \(\left (I_n\right )\) est convergente.
  3. Déterminer l'expression de \(I_n\) en fonction de \(n\) et déterminer la limite de la suite \(\left (I_n\right )\).
  4.  

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