Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.


Soit \(n\) un entier naturel. On note \(x_{n}\) la quantité de fonds détenue par l'agence X, et \(y_{n}\) la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1er janvier de l'année \(2014 + n\), exprimées en millions d'euros. On note \(U_{n}\) la matrice \(\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}\) et on note \(I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). On suppose que le 1er janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10 millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : \[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\]

  1. Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice \(A\) et le coefficient 3 de la matrice \(B\).
  2. L’agence \(X\) conserve \(60\%\) de ses fonds d’une année sur l’autre.
    \(\quad\)
    Chaque année le siège de la banque transfère \(3\) millions d’euros à l’agence \(Y\).
  3. Donner la matrice \(U_{0}\) puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros.
  4. \(U_0=\begin{pmatrix} 50 \\\\10 \end{pmatrix}\).
  5. On note \(D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}\) et \(Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}\).
    1. Donner sans détailler le calcul, la matrice \(P DQ\).
    2. \(PDQ = \begin{pmatrix} 0,6&0,15 \\\\0,2&0,4 \end{pmatrix} = A\).
    3. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel \(QP\). Dans la suite, on admettra que \(QP = I\).
    4. Ce coefficient est obtenu à partir du calcul suivant : \(0,25 \times 3 – 0,375 \times (2) = 0\)

    On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul \(n,\) \(A^n = P D^nQ\).
  6. On pose pour tout entier naturel \(n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}\).
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\: V_{n+1} = AV_{n}\).
    2. \[\begin{array}{ll} V_{n+1} &= U_{n+1} – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &= AU_n+B – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &=AU_n + \begin{pmatrix} -4 \\ -11/3 \end{pmatrix} \end{array}\]
      Or \(A\begin{pmatrix} -5 \\-20/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\-11/3 \end{pmatrix}\)
      Donc \(V_{n+1}=AV_n\).
    3. Déterminer \(V_{0}\) puis pour tout entier naturel \(n\), donner l'expression de \(V_{n}\) en fonction de \(A,\, n\) et \(V_{0}\).
    4. \(V_0 = \begin{pmatrix} = 45 \\ 10/3 \end{pmatrix}\).
      On a ainsi \(V_n = A^nV_0\) pour tout \(n \in \mathbb N\).
  7. Soit \(n\) un entier naturel. On admet que \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
    1. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice \(V_{n}\) en détaillant les calculs.
    2. Ce coefficient est donné par :
      \[\begin{array}{ll} v &= 45(0,25\times 0,3^n+0,75 \times 0,7^n) + \dfrac{10}{3}\left[0,375(-0,3^n+0,7^n)\right] \\ &= 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n \end{array}\]
    3. En déduire l'expression de \(x_{n}\) en fonction de \(n\).
    4. On a ainsi \(x_n = 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n + 5\)
    5. Déterminer la limite de \(x_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\) et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
    6. \(-1<0,3<1\) et \(-1<0,7<1\).
      Par conséquent \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0,3^n = \lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n = 0\).
      Donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = 5\).
      Au bout d’un grand nombre d’année, les fonds disponibles de l’agence X seront de \(5\) millions d’euros.

 

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