Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014

Correction de l'exercice 2 (6 points)


Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([0~; + \infty[\) par \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).
  2. \(f(x) = -\left(-x\text{e}^{-x}\right)\).
    Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} x\text{e}^{x} = 0\).
    Par conséquent \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).
  3. Déterminer la dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) sur \([0~; + \infty[\) et en déduire le tableau de variations de \(f\) sur \([0~; + \infty[\).
  4. \(f\) est dérivable sur \([0;+\infty[\).
    \(f'(x) = \text{e}^{-x} – x\text{e}^{-x} = (1-x)\text{e}^{-x}\).
    La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent le signe de \(f'(x)\) ne dépend que de celui de \(1-x\).
    Or \(1-x \ge 0\) \(\Leftrightarrow x <1\).
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

On donne en annexe la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) représentative de la fonction \(f\) dans un repère du plan. La droite \(\Delta\) d'équation \(y = x\) a aussi été tracée.


Partie B

Soit la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 1\) et, pour tout entier naturel \(n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)\).

  1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) et la droite \(\Delta\), les points \(A_{0},\, A_{1}\) et \(A_{2}\) d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives \(u_{0},\, u_{1}\) et \(u_{2}\). Laisser les tracés explicatifs apparents.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n,\: u_{n} > 0\).
  3. Initialisation : \(u_0=1 > 0\). La propriété est donc vraie au rang \(0\).
    \(\quad\)
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_n > 0\).
    On a \(u_{n+1} = f(u_n) = u_n \text{e}^{-u_n}\).
    La fonction exponentielle est toujours strictement positive.
    Un produit de nombre strictement positif est strictement positif.
    Par conséquent \(u_{n+1} >0\).
    \(\quad\)
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\). En la supposant vraie au rang \(n\), elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) on a \(u_n > 0\).
  4. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante.
  5. \(u_{n+1} – u_n \) \(= u_n \text{-u_n} – u_n \) \(= u_n\left(\text{e}^{-u_n} – 1\right)\).
    D’après la question précédente, \(u_n > 0\) donc \(\text{e}^{-u_n}-1 <0\).
    Par conséquent \(u_{n+1}-u_n <0\).
    La suite \((u_n)\) est donc décroissante.
    1. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente.
    2. La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\). Elle est donc convergente.
    3. On admet que la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) est solution de l'équation \(x\text{e}^{- x} = x\). Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
    4. \(x\text{e}^{-x} = x \) \(\Leftrightarrow x\text{e}^{-x}-x = 0\) \( \Leftrightarrow x\left(\text{e}^{-x} -1\right) = 0\) \(\Leftrightarrow x= 0\) ou \( \text{e}^{-x} – 1 = 0\) \(\Leftrightarrow x=0\)
      La limite de la suite \((u_n)\) est donc \(0\).

Partie C

On considère la suite \(\left(S_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il calcule \(S_{100}\).

Annexe 2 Exercice 2 Partie C

\[\begin{array}{|l|}\hline \text{ Déclaration des variables :}\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} S \text{ et } u \text{ sont des nombres réels}\\ k \text{ est un nombre entier} \end{array}\\ \text{Initialisation : }\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ S \text{ prend la valeur }\ldots \ldots\\ \end{array}\\ \text{ Traitement : }\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} \text{Pour } k \text{ variant de 1 à } \ldots.\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } u \times \text{e}^{- u}\\ S \text{ prend la valeur } \ldots.\\ \end{array}\\ \text{Fin Pour }\\ \text{ Afficher } \ldots \ldots\\ \end{array}\\ \hline \end{array}\]

Déclaration des variables :
\(\quad\) \(S\) et \(u\) sont des nombres réels
\(\quad\) \(k\) est un nombre entier
Initialisation :
\(\quad\) \(u\) prend la valeur \(1\)
\(\quad\) \(S\) prend la valeur \(1\)
Traitement :
\(\quad\) Pour \(k\) variant de \(1\) à \(100\)
\(\qquad\) \(u\) prend la valeur \(u\times \text{e}^{-u}\)
\(\qquad\) \(S\) prend la valeur \(S+u\)
\(\quad\) Fin Pour
\(\quad\) Afficher \(S\)

\(\quad\)

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