Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9\(\,\%\) des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. A l'issue des tests, il est noté que

  • 96\(\,\%\) des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
  • 97\(\,\%\) des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note

  • \(N\) l'évènement : « la peluche répond aux normes en vigueur » ;
  • \(A\) l'évènement : « la peluche est acceptée à l'issue des tests ».

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
  2. Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est 0,8763 .
  3. Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.

 

Partie B

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée \(D\), suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).


  1. On sait que \(P(D \leqslant 4) = 0,5\). Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de \(\lambda\).
  2. On prendra ici \(\lambda = 0,1733 \). Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

 

Partie C

Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intér êt des enfants pour ce jouet. A la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté \(J\), où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma\). Il apparaît que \(\mu = 358\) jours.


  1. Soit \(X = \frac{J - 358}{\sigma}\). Quelle est la loi suivie par \(X\) ?
  2. On sait que \(P(J \leqslant 385) = 0,975\). Déterminer la valeur de \(\sigma\) arrondie à l'entier le plus proche.

 

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