Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d'une colline. On admet qu'aucun vélo des autres stations n'arrive en direction des stations A et B.


On constate pour chaque heure \(n\) qu'en moyenne :
\(\bullet \)20\(\,\%\) des vélos présents à l'heure \(n - 1\) à la station A sont toujours à cette station.
60\(\,\%\) des vélos présents à l'heure \(n - 1\) à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
\(\bullet \)10\(\,\%\) des vélos présents à l'heure \(n - 1\) à la station B sont à la station A, 30\(\,\%\) sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
\(\bullet \)Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos.

Partie A


Au bout de \(n\) heures, on note \(a_{n}\) le nombre moyen de vélos présents à la station A et \(b_{n}\) le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note \(U_{n}\) la matrice colonne \(\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}\) et donc \(U_{0} = \begin{pmatrix}50\\60\end{pmatrix}\).

  1. Déterminer la matrice \(M\) telle que \(U _{n+1} = M \times U_{n}\).
  2. On a ainsi \(a_{n+1} = 0,2a_n + 0,1b_n\) et \(b_{n+1} = 0,6a_n + 0,3b_n\).
    On a donc \(M = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,1 \\\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix}\)
  3. Déterminer \(U_{1}\) et \(U_{2}\).
  4. \(U_1 = M \times U_0 = \begin{pmatrix} 16 \\\\48 \end{pmatrix}\)
    \(\quad\)
    \(U_2 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 8 \\\\ 24 \end{pmatrix}\)
  5. Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ?
  6. On a \(U_3 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 4 \\\\ 12 \end{pmatrix}\)
    \(U_4 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 2 \\\\ 6 \end{pmatrix}\)
    \(U_5 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \end{pmatrix}\)
    Par conséquent au bout de \(5\) heures, il ne reste plus qu’un seul véol dans la station A.

Partie B


Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30 vélos à la station A et 10 vélos à la station B. Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante :


Au bout de \(n\) heures, on note \(\alpha_{n}\) le nombre moyen de vélos présents à la station A et \(\beta_{n}\) le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note \(V_{n}\) la matrice colonne \(\begin{pmatrix}\alpha_{n} \\\beta_{n}\end{pmatrix}\) et \(V_{0} = \begin{pmatrix} 50\\60\end{pmatrix}\). Dans ces conditions \(V_{n+1} = M \times V_{n} + R\) avec \(R = \begin{pmatrix}30\\10\end{pmatrix}\) .


  1. On note \(I\) la matrice \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}\) et \(N\) la matrice \(I - M\).
    1. On désigne par \(V\) une matrice colonne à deux lignes. Montrer que \(V = M \times V + R\) équivaut à \(N \times V = R\) .
    2. \(V = M \times V + R \Leftrightarrow\) \(V – M \times V = R \Leftrightarrow (I – M) \times V = R \) \(\Leftrightarrow N \times V = R\)
    3. On admet que \(N\) est une matrice inversible et que \(N^{- 1} = \begin{pmatrix}1,4&0,2\\1,2&1,6\end{pmatrix}\). En déduire que \(V = \begin{pmatrix}44\\52\end{pmatrix}\)
    4. Puisque \(N\) est inversible on a ainsi \(V = N^{-1} \times R = \begin{pmatrix} 1,4 & 0,2\\\\1,2 & 1,6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 30 \\\\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}\)
  2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(W_{n} = V_{n} - V\).
    1. Montrer que \(W_{n+1} = M \times W_{n}\).
    2. $\(\begin{array}{ll} W_{n+1} &= V_{n+1} – V = M \times V_n + R – V \\ &=M \times V_n + R – (M \times V + R) \\ &=M \times V_n – M \times V \\ &= M \times (V_n – V) \\ &= M \times W_n \end{array}\)
    3. On admet que :
      pour tout entier naturel \(n, W_{n} = M^{n} \times W_{0}\),
      pour tout entier naturel \(n \geqslant 1,\:\: M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}\).
      Calculer, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1,\: V_{n}\) en fonction de \(n\).
    4. \(W_0= V_0 – V = \begin{pmatrix} 6 \\\\8 \end{pmatrix}\)
      \(W_n = M_n \times W_0 = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2 \times 6 + 0,1 \times 0,1 \\\\0,6 \times 6 + 0,3 \times 8 \end{pmatrix}\) \(=\dfrac{1}{2^{n-1}} \begin{pmatrix} 2\\\\6\end{pmatrix}\)
      On a \(V_n = W_n + V = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix}2\\\\6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}\)
    5. Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?
    6. On a donc \(a_n = 2 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 44\) et \(b_n = 6 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 52\).
      or \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0\).
      Donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 44\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} b_n = 52\).
      Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B se stabilise donc.

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