Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Suites


On considère la suite numérique \(\left(u_n\right)\) définie sur \(\mathbb N\) par : \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]

Partie A : Conjecture

  1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de \(u_1\) et \(u_2\).
  2. \(u_1 = -\dfrac{1}{2} \times 2^2 + 3 \times 2 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\)
    \(\quad\)
    \(u_2 = – \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2} = \dfrac{23}{8}\)
  3. Donner une valeur approchée à \(10^{-5}\) près des termes \(u_3\) et \(u_4\).
  4. On a ensuite \(u_3 \approx 2,99219\) et \(u_4 \approx 2,99997\)
  5. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite \(\left(u_n\right)\).
  6. Il semblerait donc que la suite \((u_n)\) soit croissante et converge vers \(3\).

Partie B: Validation des conjectures


On considère la suite numérique \(\left(v_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\), par : \(v_n = u_n - 3\).


  1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2\).
  2. \[\begin{array}{ll} v_{n+1} &= u_{n+1} – 3 \\ &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{3}{2} – 3 \\ &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{9}{2} \\ &= – \dfrac{1}{2} \left(u_n^2 – 6u_n + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{2} (u_n – 3)^2 \\ &= – \dfrac{1}{2} v_n^2 \end{array}\]
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0\).
  4. Initialisation : Si \(n = 0\) alors \(v_0 = 2 – 3 = -1\) donc \(-1 \le v_0 \le 0\).
    La propriété est donc vraie au rang \(0\).
    \(\quad\)
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(-1 \le v_n \le 0\).
    Ainsi \( 0 \le v_n^2 \le 1\) et \(-\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}v_n^2 \le 0\) soit \(-1 \le v_{n+1} \le 0\).
    La propriété est donc vraie au rang \(n+1\)
    \(\quad\)
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\). Si la propriété est vraie au rang \(n\) alors elle est également vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), on a \(-1 \le v_n \le 0\).
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)\).
    2. \(v_{n+1} – v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2 – v_n = -v_n \left(-\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)\)
    3. En déduire le sens de variation de la suite \(\left(v_n\right)\).
    4. On sait que \(-1 \le v_n \le 0\) donc \(-v_n \ge 0\)
      De plus \(-\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n \le 0\) soit \(\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n + 1 \le 1\). Par conséquent \(\dfrac{1}{2} v_n + 1 \ge 0\)
      Finalement, \(v_{n+1}-v_n \ge 0\).
      La suite \((v_n)\) est donc croissante.
  5. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite \(\left(v_n\right)\) converge ?
  6. La suite \((v_n)\) est croissante et majorée par \(0\). Elle converge donc.
  7. On note \(\ell\) la limite de la suite \(\left(v_n\right)\). On admet que \(\ell\) appartient à l'intervalle \([- 1 ; 0]\) et vérifie l'égalité : \(\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2\). Déterminer la valeur de \(\ell\).
  8. \(l = -\dfrac{1}{2}l^2 \Leftrightarrow l + \dfrac{1}{2}l^2 = 0 \Leftrightarrow l \left(1 + \dfrac{1}{2}l \right) = 0\)
    Cela signifie donc que \(l = 0\) ou \(1 + \dfrac{1}{2}l = 0\) (et donc \(l=-2\)).
    On sait que \(l \in [-1;0]\). Par conséquent \(l = 0\).
  9. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
  10. On sait que :
    – la suite \((v_n)\) est croissante et converge vers \(0\)
    – \(u_n = v_n + 3\)
    Par conséquent la suite \((u_n)\) est également croissante et converge vers \(3\).
    Les conjectures de la partie A sont donc validées.

 

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