Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.


  1. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A\((2 ; 5 ; - 1)\), B\((3 ; 2 ; 1)\) et C\((1 ; 3 ; - 2)\). Le triangle ABC est :
    1. rectangle et non isocèle
    2. isocèle et non rectangle
    3. rectangle et isocèle
    4. équilatéral
  2. Déterminons les coordonnées des différents vecteurs.
    \(\vec{AB}(1;-3;2)\) \(\quad\) \(\vec{AC}(-1;-2;-1)\) \(\quad\) \(\vec{BC}(-2;1;-3)\)
    Donc \(AB^2 = 1 + 9 + 4 = 14\) \(\quad\) \(AC^2 = 1 + 2 + 1 = 4\) et \(BC^2 = 4 + 1 +9 = 14\)
    On constate donc que \(AB = BC\) mais \(AC^2 \neq AB^2 + BC^2\). D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
    Réponse B
  3. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan \(P\) d'équation \(2x - y + 3z - 1 = 0\) et le point A\((2 ; 5 ; -1)\). Une représentation paramétrique de la droite \(d\), perpendiculaire au plan \(P\) et passant par A est :
    \[\begin{array}{lll} \text{a. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + 2t\\ y &=& 5+t\\ z &=& - 1 + 3t \end{array}\right.& \text{ b. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + 2t\\ y &=& - 1 + 5t\\ z &=& 3 - t \end{array}\right.& \text{ c. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 6 - 2t\\ y &=& 3 + t\\ z &=& 5 - 3t \end{array}\right.& \text{ d. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 2t \\ y &=& 4 - t\\ z &=& - 2 + 3t \end{array}\right.\\ \end{array}\]
  4. Un vecteur normal est \(\vec{n}(2;-1;3)\). Ce vecteur est donc un vecteur directeur de \(d\).
    Par conséquent, seules les propositions c et d peuvent convenir.
    Cette droite doit passer par le point \(A(2;5;-1)\).
    Si on considère la représentation paramétrique c, en prenant \(t= 2\) alors : \(\begin{cases} x = 6 – 4 = 2 \\\\y = 3 + 2 = 5\\\\z= 5 – 6 = -1 \end{cases}\).
    Par conséquent la bonne réponse est la réponse C\(\quad\)
  5. Soit A et B deux points distincts du plan. L'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\vec{M\text{A}} \cdot \vec{M\text{B}} = 0\) est :
    \begin{array}{llll} \text{a. }\text{l'ensemble vide}& \text{ b. } \text{la médiatrice du segment} [AB] &\text{ c. } \text{le cercle de diamètre }[AB] &\text{ d. } \text{ la droite } (AB) \end{array}
  6. \(\vec{MA}.\vec{MB} = 0 \Leftrightarrow AMB\) rectangle en \(M\) \(\Leftrightarrow\) \(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\)
    Réponse C
  7. La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF.

    Les droites (IJ) et (MN) sont :
    1. perpendiculaires
    2. sécantes, non perpendiculaires
    3. orthogonales
    4. parallèles
  8. Les points \(M\) et \(N\) appartiennent tous les deux à un plan parallèle au plan \(EFG\), auquel appartient la droite \((IJ)\). Ce ne peut donc pas êtres les réponses a et b.
    La droite parallèle à \((MN)\) passant par \(J\) coupe \([EF]\) en son milieu. Par conséquent cette droite et \((IJ)\), qui appartiennent toutes les deux au plan \(EFG\) ne sont pas parallèles.
    Réponse C

 

 

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